《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.3）泰勒公式

§3.3泰勒公式 、泰勒公式 麦克劳林公式 直贝

二、麦克劳林公式 一、泰勒公式 §3.3 泰勒公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、泰勒公式 问题的提出 根据函数的微分,有 fx)=f(x)+f"(xo)(x-x0)+o(x-x0)(当-x很小时) 略掉o(x-xo),得到求fx)的近似公式 fx)f(xo)+f'(xo)(x=x0(当x-x0很小时 其误差为 R()=fx)f(o)f(o(x-xo 近似公式的不足:精确度不高误差难于估计 为了达到一定的精确度要求,可考虑用n次多项式 Pn(x)来近似表达fx) 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒公式 •问题的提出 根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )+o(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 略掉o(x-x0 ), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0 )-f (x0 )(x-x0 ). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式 Pn (x)来近似表达f(x). 下页

多项式Pn(x)的确定 设函数(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 (x)=aota(x total 0 )2+…+an(xx0 来近似表达fx)我们自然希望P2(x)与x)在x的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(o=P(xo) f(x0)=Pn"(x0) f(xo=Pn(ro), f(xo=Pn(o) fn(o=Pn(n(ro) 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0 )的n次多项式 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+    +an (x-x0 ) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ),      , f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ). •多项式Pn (x)的确定 下页

多项式系数的确定 fo=Pn(o)=ao f f(x0)=Pn(x0)=a1, a,=f(ro) f(o=P(o)=2la 2/" f"(x)=Pn"(xo)=3!a3, a3=f"(x0), fm(o=Pn(ro)=nla f(n(o) IPn(m(r)=nla 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+ a2 (x-x0 ) 2+    + an (x-x0 ) n P , n (x)= a1+2a2 (x-x0 ) +    +nan (x-x0 ) n-1 P , n (x)=2a2 +32a3 (x-x0 ) +    +n(n-1)an (x-x0 ) n-2 P , n (x)=3!a3+432a4 (x-x0 ) +    + n(n-1)(n-2)an (x-x0 ) n-3 P , n (n) (x)=n!an . •多项式系数的确定 =a0 , a0 = f(x0 ), =a1 , a1 = f (x0 ), =2!a2 , =3!a3 ,      , f(x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ) = n!an .      , ( ) 2! 1 2 0 a = f  x , ( ) 3! 1 3 0 a = f  x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = . 下页

多项式系数的确定 ak=f6(x0)(k=0,1,2,…,n) 于是所求多项式为 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+……+an(x-x0)y (x)+f(x)(x-x0)+1(xXx-x)2 +f(o(x-xo 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+    +an (x-x0 ) n 于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k = (k=0,1,2,  ,n). = f(x0 )+ f (x0 )(x-x0 ) (x-x0 ) 2 ( ) 2! 1 0 + f  x ( ) ! 1 0 ( ) f x n +   + n (x-x0 ) n . 下页 •多项式系数的确定

今泰勒中值定理 如果函数x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到 (n+1)的阶导数,则对任一x∈(a,b),有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+nf"(x0(x-x0)2 +…+-f(m(x0)x-x0)+R2(x), 其中R(x)=fm+(x-x)(5介于x0与x之间) (n+1)! 展开式称为(x)按(x-x0)的幂展开的m阶泰勒公式 而R、x)的表达式称为拉格朗日型余项 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到 (n+1)的阶导数, 则对任一x(a, b), 有 展开式称为f(x)按(x-x0 )的幂展开的n阶泰勒公式, 而Rn (x)的表达式称为拉格朗日型余项. 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x)= f (x )+ f (x ) (x-x )+ f  x x-x +   ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n + n - n + , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + - + = n n n x x n f R x  其中 ( (   介 介于 于 x x 0 0 与 与 x之间 x 之间 ). ). 下页

°误差估计 如果在区间(a,b)内,对于某个固定的n,f(+(x)总不 超过一个常数M,则有估计式: (n+1) AR2(x)|=| (x-x0)n+1|x(x-x 可见,当x->x0时,误差R(x)是比(x-x0y高阶的无穷小,即 R,(x=o[(x-xornI 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n+1)(x)|总不 超过一个常数M, 则有估计式: 可见, 当x→x0时, 误差|Rn (x)|是比(x-x0 ) n高阶的无穷小, 即 Rn (x)=o[(x-x0 ) n ]. •误差估计 及 0 ( ) lim 0 ( ) 0 = → - n n x x x x x R . 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| | + + + - + -  + = n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| | + + + - + -  + = n n n n x x n M x x n f R x  , 下页

°误差估计 如果在区间(a,b)内,对于某个固定的n,f+(x)总不 超过一个常数M,则有估计式: (n+1) AR2(x)|=| (x-x0)n+1|<M (n+D)ilt- n+1 (n+1) R,(x=ol(x-xonl 在不需要精确表达余项时,n阶泰勒公式也可写成 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+nf"(x0)(x-x)2 +…+nm(x(x=x)+o4(x=x列门 自 上页返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 Rn (x)=o[(x-x0 ) n ]. 在不需要精确表达余项时, n阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x)= f (x )+ f (x ) (x-x )+ f  x x-x +   ( ) ( ) [ ( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n + - + - . 首页 如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n+1)(x)|总不 超过一个常数M, 则有估计式: •误差估计 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| | + + + - + -  + = n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| | + + + - + -  + = n n n n x x n M x x n f R x 

二、麦克劳林公式 麦克劳林公式 提问 当x=0时,泰勒公式及其余项 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+nf"(x0(x-x0) +…+f()(x0)(x-x0)+R(x), R,(x) f(n+( (n+1) (x-x0 将变成什么形式? 首页页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、麦克劳林公式 ❖麦克劳林公式 当x0=0时, 泰勒公式及其余项 将变成什么形式？ 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x)= f (x )+ f (x ) (x-x )+ f  x x-x +   ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n + n - n + , 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + - + = n n n x x n f R x  下页 提问：

二、麦克劳林公式 麦克劳林公式 当xa=0时,泰勒公式称为麦克劳林公式 f(x)=f0)+f(0)x+<(O 21-x2+ 以x+B(x), 或f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0) f()(0) 2-x2+…+ xn+o(rn) 其中Rn(x) f(n+() (n+D/++1 °近似公式 f(x)≈f0)+fOx+f"(0) x2+∴+ X 首页页返回下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当x0=0时, 泰勒公式称为麦克劳林公式: •近似公式 其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f R x  . ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n +  + +  = +  + , 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x +  + +  = +  + , n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 +  +   +  + . 下页 二、麦克劳林公式 ❖麦克劳林公式