《高等数学》课程教学资源：第五章 定积分（5.3）定积分的换元法和分部积分法

§53定积分的换元法和分部积分法 、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 自贝

§5.3 定积分的换元法和分部积分法 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

、定积分的换元法 今定理 假设函数f(x)在区间[a,b上连续,函数x=g(1)满足条件 (1)(a)=a,(B)=b; (2)((0)在[a,例或[B,a)上具有连续导数,且其值域不越 出a,b],则有 (x)=D(O)p(.一换元公式 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、定积分的换元法 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=(t)满足条件: (1)(a)=a,()=b; (2)(t)在[a, ](或[, a])上具有连续导数, 且其值域不越 出[a, b], 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )  a =     定理证明 ❖定理 ——换元公式. 下页

(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例1计算√a2-x2dx(a>0) 解 xdx 今x= aint2 acost acos stdt 2兀 2 2 cos tdt=2(+cos2)dt It+sin 2t12=no Vat-x2=vat-ausinit=acost, dx=acostdt 当x=0时t=0,当x=a时t=x. 首页上页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   −  = 2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt 解 a 令x a t 例 1 计算 − a a x dx 0 2 2 例1 (a>0) 提示： a x a a sin t acost 2 2 2 2 2 a − x = a −a sin t =acost , dx=acostdt  2 2 2 2 2 − = − = , dx=acostdt    = = 2 + 0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a   = + =    = = 2 + 0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a   = + =  f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( )    a     令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页   −  = 2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t   −  = 2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t 当 x=0 时 t=0, 当 x=a 时 2  t= 

(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例2计算[2 coS xsin xdx 解 2 coS xsin xdx=-12 coS xd cosx 令cosx=t , rdt=5 或 coSxSInxax cos xa cosx cOSx 2 COS-+-COS 0 26 换元一定要换积分限,不换元积分限不变 首页 上页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0   例2  解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + =   x  6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + =   x  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   或 提示： 当 x=0 时 t=1, 当 2  x= 时 t=0 f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( )    a     令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 换元一定要换积分限,不换元积分限不变 下页

(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例3计算√smx-sm3xdh 解「si3x-sin3xdk= Tsin2 x cosd 3 2 sin 2 xcosxdx- sin 2 xcosxdx 3 =2 sin 2 xd sin x-sin 2 xdsinx 小 vsin3x-sin5x=sin 3x(I-sin2x)=sin 2 xlcosxl 在0互上cosx=cosx,在[,z]上cosx=cosx 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 3 3 计算 −  0 3 5 sin x sin xdx  sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =   sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =     = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx   = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 提示： sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x− x = x − x = x x  在 ] 2 [0,  上|cos x|=cos x, 在 , ] 2 [   上|cos x|=−cos x f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( )    a     令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页

(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例3计算√smx-sm3xdh 解「si3x-sin3xdk= Tsin2 x cosd 3 3 =2 sin 2 xd sin x-sin 2 xdsinx 5 ==sin2x2-=sin2xIr5 2 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − =    x x  5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − =    x x  解 例 例 3 3 计算 −  0 3 5 sin x sin xdx  sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =   sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =     = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx   = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( )    a     令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页

(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例4计算 x+2 √2x+1 解 4x+2 x 令、2x+1=132+2 =[(t2+3)d tdt 0√2x+1 [3+33=[(2+9)-(+3) 提示:2-1 2 dx=td;当x=0时t1,当x4时t=3 首页 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解     = + + − + + + = 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x 解 x 令 x t 例 例 4 4 计算 dx x x  + 4 + 0 2 1 2  3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3 = t + t = + − + =  3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3 = t + t = + − + =  2 1 2 − = t x , dx=tdt; 当 x=0 时 t=1, 当 x=4 时 t=3 2 1 2 − = t x , dx=tdt; 当 x=0 时 t=1, 当 x=4 时 t=3 解     = + + − + + + = 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 解     = + + − + + + = 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 解     = + + − + + + = 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( )    a     令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页

例5证明:若(x)在[-a,a上连续且为偶函数,则 f(x)dx=2o f(x)dx 证明因为厂f(x)=。(x)+(x 而 f(x)dx f(tdt=o f(t)dt= f(x)dx 所以当(x)为偶函数时,有 f(r)dx=Jo f(x)dx+of(x)dx =5Uf(x)+f(x)k=。2f(x)k=20()k 讨论: 若fx)在[-a,a上连续且为奇函数,问上f(x)bx=? 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 例5 证明: 若f(x)在[−a, a]上连续且为偶函数,则   = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( )  证明 因为 f x dx f x dx f x dx a a a a ( ) ( ) ( ) 0 0    = + − − , 而     − − = − = − =− − a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 , 所以当f(x)为偶函数时, 有    = − + − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( )    = − + = = − a a a a f x f x dx f x dx f x dx 0 0 [ ( ) ( )] 2 ( ) 2 ( )  而     − − = − = − =− − a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 而 ,     − − = − = − =− − a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 而 ,     − − = − = − =− − a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 而 ,     − − = − = − =− − a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 ,    = − + = = − a a a a f x f x dx f x dx f x dx 0 0 [ ( ) ( )] 2 ( ) 2 ( )     = − + = = − a a a a f x f x dx f x dx f x dx 0 0 [ ( ) ( )] 2 ( ) 2 ( )  讨论： 若 f(x)在[−a, a]上连续且为奇函数, 问 =  − a a f (x)dx ？ 下页

Od= O 1、该结论可用来简化计算定义在对称 于原点的区间[-a,a]上的偶函数与 奇函数的定积分 0 2、求∫f(x)dx所用的替换x=一t虽然简单但却常用 例)但1,1工实,证明 (1)3/(smx)bk=12/(2 (2) xf(sin x)dx 20 (sin x )dx 证明(1)令x=x 2 f(sinx)dx =-lx f[sin( -t)la t 2 J2/[sin(-O)kt =[2/(cosx)dx 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 例6 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 (2)   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  (1)   = 2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx ; 证明 (1)令 x= −t 2  , 则 f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0 =− −        = − = 2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx  f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0 =− −        = − = 2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx  下页 f x dx a a ( ) −  f x dx = 0 a a ( ) −   ( ) ==00 − a a f x dx  ( ) = 0 − a a f x dx

例6若(x)在[0,1上连续,证明 (1)2 f(sinx)dx=2 f(cosx)dx (2)[ xf(sin x)dx3 y(Sinxydx 证明(2)令x=x因为 So xf(sinx)dx=-(T-D)/[sin(T-t)lt l(/Tsin(T-t)kt=(7-o)f(sint)dt rS f(sint)dt-ltf(sindt r Jo f(sinxydx-Jo f(sinx)dx 所以y( (sin x )dx=xf(smxk 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (2)令x=−t 因为 例6 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 (2)   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  (1)   = 2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx ; 证明   =− − − 0 0 (sin ) ( ) [sin( )]   xf x dx  t f  t dt   = − − = −      0 0 ( t)f[sin( t)]dt ( t)f (sint)dt   = −    0 0 f (sint)dt tf (sint)dt   = −    0 0 f (sin x)dx xf (sin x)dx 所以   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx    =− − − 0 0 (sin ) ( ) [sin( )]   xf x dx  t f  t dt   = − − = −      0 0 ( t)f[sin( t)]dt ( t)f (sint)dt 下页