§3.6函数图形的描绘 用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较 精确的函数图形 当我们对函数曲 线的性态有了全面了 解之后,只需少数几 个点就能画出较精确 的函数图形 自贝
§3. 6 函数图形的描绘 用描点法作函数图形需要计算许多点, 才能画出较 精确的函数图形. 当我们对函数曲 线的性态有了全面了 解之后, 只需少数几 个点就能画出较精确 的函数图形. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
今描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求函数的一阶和二阶导数,求出一阶、二阶导数 为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)冽列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点; (6)联结这些点画出函数的图形 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数, 求出一阶、二阶导数 为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形. ❖描绘函数图形的一般步骤 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1画出函数y=x32x2x+1的图形 解(1)函数的定义域为(-∞,+∞) (2)f(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),f"(x)=6x-2=2(3x-1) 令f(x)=0得x=-1/3,1;令f(x)=0得x=1/3 (3)曲线性态分析表: x(∞.-13)-13(1313)1/3(13,1)1(1,+∞) f(x)+ 0 0 (x) 6/2 f(x)n板天拐点0极小U (4)特殊点的函数值:f(0)=1,f-1)=0,f(3/2)=5/8 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 画出函数y=x 3−x 2−x+1的图形. 解 (1)函数的定义域为(−, +). (2)f (x)=3x 2−2x−1=(3x+1)(x−1), f (x)=6x−2=2(3x−1). 令f (x)=0得x=−1/3, 1 令f (x) =0得x=1/3. (3)曲线性态分析表 f (x) f (x) f (x) ＋ 0 － － － 0 ＋ － － － 0 ＋ ＋ ＋ 32/27 极大 0 极小 16/27 ↗∩ ↘∩ 拐点 ↘∪ ↗∪ (4)特殊点的函数值 f(0)=1, f(−1)=0, f(3/2)=5/8. x (−,−1/3) −1/3 (−1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +) 下页
例1画出函数y=x3-x2-x+1的图形 解曲线性态分析表: x(-∞-13)-13(-1313)13(13,1)1 +∞) f(x)x极天、016/27 32/2 拐 y∪ 极小 特殊点的函数值:f(0)=1,f(-1)=0,f(3/2)=5/8 描点联线画出图形 y x32-x2-x+1 116、3 上页返回下 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 描点联线画出图形. 特殊点的函数值 f(0)=1, f(−1)=0, f(3/2)=5/8. ) 27 32 , 3 1 (− ) 27 16 , 3 1 ( ) 8 5 , 2 3 ( y=x 3−x 2−x+1 f (x) (−,−1/3) −1/3 (−1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +) 32/27 极大 0 极小 16/27 ↗∩ ↘∩ 拐点 ↘∪ ↗∪ x 下页 例1 画出函数y=x 3−x 2−x+1的图形. 解 曲线性态分析表
例2作函数f(x) e2的图形 解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞) f(x)是偶函数,图形关于y轴对称 (2)f(x) e2,f"(x) (x+1)(x-1) 2丌 2丌 令(x)=0,得x=0;令"(x)=0,得x=1和x=1 (3)曲线性态分析表 X 0(0,1)1(1,+∞) f"(x) 0 f"(x) y=(x)的图形一一极大∩ 拐点 2丌 2Te (4)曲线有水平渐近线y=0 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 (1)函数f(x)的定义域为(−, +), f(x)是偶函数, 图形关于y 轴对称. 例 2. 作函数 2 2 1 2 1 ( ) x f x e − = 例2 的图形. 令f (x)=0, 得x=0 令f (x)=0,得x=−1和x=1. (3)曲线性态分析表 极大 2 1 2e 1 拐点 x 0 (0, 1) 1 (1, +) f (x) f (x) y=f(x)的图形 0 － － － － － 0 ＋ ↘∩ ↘∪ (4)曲线有水平渐近线y=0. (2) 2 2 1 2 ( ) x e x f x − = − , 2 2 1 2 ( 1)( 1) ( ) x e x x f x + − − = (2) . 2 2 1 2 ( ) x e x f x − = − , 2 2 1 2 ( 1)( 1) ( ) x e x x f x + − − = . 下页
例2作函数f(x) e2的图形 解函数性态分析表: D + y=x)的图形极大y∩ 拐点y 2丌 y=0是曲线的水平渐近线 先作出区间(0,+∞)内的图形,然后利用对称性作出区间 (-∞,0)内的图形 y 0.5 返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 0.5 1 y=0是曲线的水平渐近线. 极大 2 1 2e 1 拐点 x 0 (0, 1) 1 (1, +) y=f(x)的图形 ↘∩ ↘∪ 先作出区间(0,+)内的图形,然后利用对称性作出区间 (−, 0)内的图形. 下页 解 函数性态分析表 例 2. 作函数 2 2 1 2 1 ( ) x f x e − = 例2 的图形
例3作函数y=1+(x+3) 36x 的图形 解(1)函数的定义域为(-∞,-3)(-3,+∞) (x+3)3y"(x=2(x-6) (2)f(x=36(3-x) (x+3)4 令(x)=0得x=3,令"(x)=0得x=6 (3)曲线性态分析表: x(-∞,-3)(-3,3)3 f'(x) 30 (3,6)6(6,+∞) f"(x) 0 x)的图形D)4极大①)11/3拐点口* (4)曲线有铅直渐近线x=-3与水平渐近线y= (5)特殊点的函数值:f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9) f(-15)=-11/4. 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3. 作函数 2 ( 3) 36 1 + = + x x 例3 y 的图形. 解 (1)函数的定义域为(−, −3)(−3, +). 令f (x)=0得x=3, 令f (x)=0得x=6. (3)曲线性态分析表 x (−, −3) (−3, 3) 3 (3, 6) 6 (6, +) f (x) f (x) y=f(x)的图形 － － － － － ＋ － － － 0 ＋ 0 ) ) 4极大 ) 11/3拐点 (4)曲线有铅直渐近线x=−3与水平渐近线y=1. (5)特殊点的函数值 f(0)=1, f(−1)=−8, f(−9)=−8, f(−15)=−11/4. (2) 3 ( 3) 36(3 ) ( ) + − = x x f x , 4 ( 3) 72( 6) ( ) + − = x x f x . 下页
例3作函数y=(+D的图形 36x 解函数性态分析表: 3)(-3,3)3(3,6)6(6,+ y=(x)的图形①)①)4极大①)11/3拐点口* 铅直渐近线为x=-3,水平渐近线为y=1 f0)=1,f(-1)=8,f(-9)=8,f(-15)=11/4 =-3 3461 ---------- 15-12-9-6-3 36912 (-15 8)(-18) 首页 返回 下页 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 -15 -12 -9 -6 -3 3 6 9 12 3 -3 x (−, −3) (−3, 3) 3 (3, 6) 6 (6, +) y=f(x)的图形 ) ) 4极大 ) 11/3拐点 铅直渐近线为x=−3, 水平渐近线为y=1. f(0)=1, f(−1)=−8, f(−9)=−8, f(−15)=−11/4. y=1 x=−3 (3,4) ) 3 11 (6, (−1,−8) (−9,−8) ) 4 11 (−15,− 结束 例 3. 作函数 2 ( 3) 36 1 + = + x x 例3 y 的图形. 解 函数性态分析表