《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.3）分部积分法

§4.3分部积分法 °分部积分公式 设函数=(x)及v=v(x)具有连续导数那么, (uvy=u'v+uv 移项得 =(v)-y 对这个等式两边求不定积分,得 ∫ntx=n-Jtx,或puhn=am-jvth 这两个公式称为分部积分公式 分部积分过程 Junv'dx=Judv=v-Jvdu=uv-Ju'vdx 自贝

§4.3 分部积分法 •分部积分公式 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么, (uv)=uv+uv , 移项得 uv=(uv)−uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. 首页 上页 返回 下页 结束 铃   uv dx =uv− u vdx , 或  udv=uv− vdu ,   uv dx =uv− u vdx , 或  udv=uv− vdu ,  = = − = −  =      uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx udv uv vdu uv u vdx

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 151 xcosxdx=xd sin x=xsin xdr =x sin x+cos x+C 1512 xe dx= xde -xe -fe dx=xe -e +C dx=xide=x x xdex-2lxexdx x2ex-2xex+2le-ds -x2ex-2xex+2ex+C e(x2-2x+2)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 =x sin x+cos x+C . 例2 例3 =x 2e x−2xex+2e x+C =e x (x 2−2x+2 )+C.  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    . 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 例4kx=血m 2 In x cdx Inx-x+C 15 5 Jarccosxdx =xarccosx-xd arccos arccos+x xarc cosx 2J4-x2)2-x2 xarccosx-v1-x+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 例5  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx dx x x x x − = + 2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2 = x x− −x d −x  − = x x− −x +C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccosxdx = xarccosx− xd arccosx   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 195][arctanxdx=1 arctanxdx x2arctanx-1(x2.,dx 1+x arctan )dx 1+x 2 arctanx-xto arctan+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 = x x− x+ arctanx+C 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 例7求 Je- sin xdx 解因为 Je sin xdx= sin xde -e sinx-Je'dsinx esinx-le cosxdx =e- sin x-cosxde exsinx-ex cosx+exdcosx exsinx-ex cosx+led cosx =e sinx-e cosx-Je sin xdx 所以 e- sin xdx=le(inx-cosx)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 例 例 7 7 求 e xdx x sin  .    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos  =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos  =e x−e x− e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x = − +  (sin cos ) 2 1 sin .    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 例8求 sec xdr 解因为 sec3 xdx= secxsec2 xdx=secxd tan x secxtanx-Isecxtan'xdx secxtanx-secx(sec x-1)dx secxtanx-sec3 xdx+secxdx secxtan x+In Isecx+tan x|-Isec xdx 所以 sec' xdi=( secxtan.x-+ In secx+mx)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 解 因为 例 例 8 8 求 xdx 3 sec .    sec xdx = secxsec xdx = secxd tan x 3 2  = x x− x xdx 2 sec tan sec tan  =secxtan x− secx(sec x−1)dx 2   =secxtan x− sec xdx+ secxdx 3  = x x+ x+ x − xdx 3 sec tan ln |sec tan | sec , 所以  xdx 3 sec = (secxtan x+ln |secx+tan x|)+C 2 1 .    sec xdx = secxsec xdx = secxd tan x 3 2    sec xdx = secxsec xdx = secxd tan x 3 2 下页

例9求1-4,其中n为正整数 解1=4= arctan-+C; 当n>1时,用分部积分法,有 +2(n-1)|,、dx (x2+a2y-1(x2+a2)y x+a x+2(n-1)「 (x2+a2)- (x2+a2)y-1(x2+a2y +2(n-1)( x+a n-Ia-ln) 于MD(x2+ay x +(2n-3)n-1 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是 (2 3) ] ( ) [ 2 ( 1) 1 2 2 2 −1 + − −1 − + n = n n n I x a x a n I . 解 当n1时, 用分部积分法, 有 例 例 9 9 求  + = n n x a dx I ( ) 2 2 , 其中 n 为正整数. dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a a x a n x a x n  n n + − + + − + = − − ] ( ) ( ) 1 2( 1) [ ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 , 解 C a x x a a dx I = + + = arctan 1 1 2 2  即 2( 1)( ) ( ) 2 n 1 2 2 n 1 n 1 n n I a I x a x I + − − + − = − − 即 , dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a a x a n x a x n  n n + − + + − + = − − ] ( ) ( ) 1 2( 1) [ ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 , 下页

例10求jea 解法一令x=12,则dx=2dlt.于是 jet=2lh=2(-1)+C=2(x-1+C 解法二 ed=」ed√x)2=2Jxed 2∫de4=2xe-2edx =2vxevx-2evx +C=2ex(x-1)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解法一 于是 解法二 例 例 10 10 求 e dx x  . 令x=t 2 , 则dx=2tdt. e dx x  te dt e t C e x C t t x = = − + = − +  2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x    = ( ) = 2 2 xde xe e d x x x x   = 2 = 2 −2 xe e C e x C x x x =2 −2 + =2 ( −1)+ . e dx x  te dt e t C e x C t t x = = − + = − +  e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x = = − + = − +  e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x = = − + = − +  2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x    = ( ) = 2 2 e dx e d x xe d x x x x    = ( ) = 2 2 xde xe e d x x x x   = 2 = 2 −2 xe e C e x C x x x =2 −2 + =2 ( −1)+ . 下页

第一换积分元法与分部积分法的比较 第一步都是凑微分 ∫nox)(x)k=poo(x)=( Ju(xlv(x)dx=u(x)dv(x)=u(x)v(x)-Jv(xdu(x) 注: 在前者中几x)是以∞(x)为中间变量的复合函数,故用换 元积分法 在后者中(x)不是以x)为中间变量的复合函数,故用分 部积分法 首页 上贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注： 在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数,故用分 部积分法. 在前者中f[(x)]是以(x)为中间变量的复合函数,故用换 元积分法. 第一步都是凑微分 •第一换积分元法与分部积分法的比较 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) = =  =    f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( )− ( ) ( )=     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) = =  =    f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( )− ( ) ( )=     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . 下页

第一换积分元法与分部积分法的比较 第一步都是凑微分 ∫nox)(x)k=poo(x)=( Ju(xlv(x)dx=u(x)dv(x)=u(x)v(x)-Jv(xdu(x) 提问: 下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法? 2xex d 提示:j2 xex dx==Jea2-et= ∫x2ebx=xae=x2e2-Je2 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 第一步都是凑微分 •第一换积分元法与分部积分法的比较 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) = =  =    f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( )− ( ) ( )=     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) = =  =    f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( )− ( ) ( )=     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . 2 2 2 2 = = =     xe dx e dx e du x x u , 2 2 2 2 = = − =     x e dx x de x e e dx x x x x . 提问： 下列积分已经过凑微分,下一步该用什么方法？ 2 2 2 2 = = =     xe dx e dx e du x x u , 2 2 2 2 = = − =     x e dx x de x e e dx x x x x . 2 2 2 2 = = =     xe dx e dx e du x x u , 2 2 2 2 = = − =     x e dx x de x e e dx x x x x . 提示： 下页