《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.2）函数的求导法则

§2.2函数的求导法则 、函数的和、差、积、商的求导法贝 二、反函数的求导法则 、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 直贝

二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 §2.2 函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃 四、基本求导法则与导数公式

、函数的和、差、积、商的求导法贝 今定理1 如果函数=(x)及v=(x)在点x具有导数,那么它们的和 差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数,并且 [l(x)±y(x)]′=(x)+y(x);>> Lu(x)v(x)=u'(x) v(x)+u(x)v(x):>>> u()r-u'(x)v(x)-u(x)v(x) >>y x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的和、差、积、商的求导法则 ❖定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数那么它们的和、 差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且 ] ( ) ( ) [  v x u x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x −u x v  x =  下页 [u(x)v(x)] =u(x)v(x) [u(x)v(x)] =u(x)v(x)+u(x)v(x) >>> >>> >>>

求导法则:()=ny,(v)y=uv+my,() 1- 求导法则的推广 (++w)′=±y2±, (uv)=uvw+uv'w+uvw 特殊情况 (C)′=C 例1y=2x3-5x2+3x-7,求y 解y=(2x3-5x2+3x-7)=(2x3)-(5x2)y+(3x)-(7) 2(x3)-5(x2)+3(x) 2.3x2-52x+3=6x2-10x+3 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •求导法则的推广 (uvw) =uvw (uvw) =uvw+uvw+uvw •特殊情况 (Cu) =Cu 例1 y=2x 3−5x 2+3x−7 求y =6x 2 =2·3x −10x+3 2−5·2x+3 =2(x 3 )−5(x 2 )+3(x) =(2x 3 )−(5x 2 解 y =(2x )+(3x)−(7) 3−5x 2+3x−7) (uv) =uv  (uv) =uv+uv  2 ( ) v u v uv v u  −  求导法则  =  下页

求导法则:(ut)y=n+y,()=v+ny,y 1- 例2f(x)=x3+4c0sx-sinx,求f(x)及f(x) Hf f(x)=(x3)+(4cosx)-(sin )=3x2-4sin x f(2 4 例解 3ye(sinx+cosx),求y. y'=(er)'(sin x+cos x)+ x(sin x+cos x) e(sin x+cos x)+e(cos x-sin x) escos x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )=( 3 )+(4cos )−(sin  = 2 − 解  例 例 2 2 2 ( ) 3 4cos sin  f x =x + x−  求 f (x)及 ) 2 (  f   4 4 3 ) 2 ( = 2 −  f  下页 例3 y=e x (sin x+cos x) 求y =2e xcos x 解 y=(e x )(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+e x (cos x −sin x) (uv) =uv  (uv) =uv+uv  2 ( ) v u v uv v u  −  求导法则  =  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −  

求导法则:(y)=y,(v)y=v+my,() 1- 商的求导法则的注记: (1)、条件ν(x)≠0不容忽视。 (2)、记忆法: 引|入行列式记号: be careful. (3)p(算y 它帮助我们记忆公式中的分子,避免符号出错。 例4y=ecx,求 解y=( secx)=() )cosx-1 (cosx) COSX Cosx sInx =sec x tan x COSx 用类似方法还可求得: (cot x)'=-cscx,(csc x)=-cSc x cot x 自 上页 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (uv) =uv  (uv) =uv+uv  2 ( ) v u v uv v u  −  求导法则  =  用类似方法还可求得 (cot x) =−csc2x (csc x) =−csc x cot x  例4 y=sec x 求y 解 x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x  x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x  首页

二、反函数的求导法则 今定理2 如果函数x=0y)在某区间内单调、可导且f(0)≠0,那么 它的反函数y=/(x)在对应区间=b)内也可导,并且 (x)y=1或=1 f( dx dx 简要证明由于x=)可导(从而连续),所以x=0y)的反函数 y=f1(x)连续.当Ax->0时,△y>0,所以 △ If-(x)I=lim Im Ax->0△x△->0△x f( △ 一详细证明首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、反函数的求导法则 ❖定理2 如果函数x=f(y)在某区间I y内单调、可导且f (y)0那么 它的反函数y=f −1 (x)在对应区间I x =f(I y )内也可导并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x  − = 或 dy dx dx dy 1 =  ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → −  ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → −  ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → −  简要证明 由于x=f(y)可导(从而连续) 所以x=f(y)的反函数 y=f −1 (x)连续 当x→0时 y→0 所以 详细证明 下页

反函数的求导法则:[1(x)y 例5求( arcsinx)及(a arccos x 解因为y= arcsin x是x=siny的反函数,所以 (arcsinx (sin)) cosy Vl-sin2y 类似地有:( arccos 例6求( arctan x)及 arccot x) 解因为y= arctan x是x=tany的反函数,所以 arctan (tany)) sec2 y 1+tan2y 1+x2 类似地有:( arccot) 1+x 自 上页 反回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  类似地有 1 2 1 (arccot ) x x +  =−  例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  类似地有 1 2 1 (arccos ) x x −  =−  ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x  反函数的求导法则: −  =  首页

、复合函数的求导法贝 今定理3 如果l=g(x)在点x可导,函数y=(n)在点=g(x)可导,则复合 函数y=/g(x)在点x可导,且其导数为 f(u)g(x)或 dx du dx 简要证明假定v=(x)在x的某邻域内不等于常数, 则△≠0,此时有 li△y△ axAx>0△xx->0△△x △ =im Aul=f(ag(x) △n→>0△△x→>0△ 一详细证明首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x u u y x y dx dy x x      =   =  →0  →0 lim lim 三、复合函数的求导法则 ❖定理3 如果u=g(x)在点x可导函数y=f(u)在点u=g(x)可导 则复合 函数y=f[g(x)]在点x可导且其导数为 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy =   简要证明 lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x =        =  →  →  则u0 此时有 假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数 x u u y x y dx dy x x      =   =  →0  →0 lim lim lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x =        =  →  →  详细证明 下页

复合函数的求导法则:如y f(u)·g(x)或 (1)、求导法则(2)称之为锁链法则 复合函数y=f(n),=g(x)的 变量关系链为: 有点“顺藤摸瓜”的咔道 欲求y对x的导数,先y对的导 数 再求对x的导数 dx 最后将它们相乘.型 例7y=sim2x,求 1+x2 解函数y=ss+是由=imn,=2X复合而成的, 2x 1+x 因此d 2(+x2)-(2x)22(1-x2 2 -coSu COS x 2)2(1+x2)21+x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy 复合函数的求导法则: =   例 10 1 2 2 sin x x y + =  求 dx dy 例7  解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u  1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − 因此 =  =   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − 因此 =  =   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − =  =   下页

复合函数的求导法则:如=r()g(x)或中=.业 例8 Isin x,求 解=(mmx)=1 (sinx) cOSx=cotx sInx sInx 例9y=1-2x2,求 dx 解2=(-2)5=3(-2)3423y 3(1-2x2)2 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如,设y=f(u),l=0(v),v=v(x),则 dx du dx du dy dx 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy 复合函数的求导法则: =   解 (sin ) sin 1 =(lnsin ) =  x  x x dx dy x x x cos cot sin 1 =  =  例 例 12 9． 3 1 2 2 y= − x  求 dx dy  解 (1 2 ) (1 2 ) 3 1 [(1 2 ) ] 3 2 2 3 2 1 2 = −  = −  −  − x x x dx dy 3 2 2 3 (1 2 ) 4 x x − − =  解 例 11．lnsin x 求 dx dy 例8  解 (sin ) sin 1 =(lnsin ) =  x  x x dx dy x x x cos cot sin 1 解 (sin ) =  =  sin 1 =(lnsin ) =  x  x x dx dy x x x cos cot sin 1 解 (sin ) =  =  sin 1 =(lnsin ) =  x  x x dx dy x x x cos cot sin 1 =  =  解 (1 2 ) (1 2 ) 3 1 [(1 2 ) ] 3 2 2 3 2 1 2 = −  = −  −  − x x x dx dy 3 2 2 3 (1 2 ) 4 x x − − 解 (1 2 ) (1 2 ) =  3 1 [(1 2 ) ] 3 2 2 3 2 1 2 = −  = −  −  − x x x dx dy 3 2 2 3 (1 2 ) 4 x x − − =  复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设y=f(u) u=j(v) v=(x) 则 dx dv dv du du dy dx du du dy dx dy =  =    dx dv dv du du dy dx du du dy dx dy =  =    下页