《数学物理方程》第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.4 达朗贝尔公式

74达朗贝尔公式定解问题 行波法 波动方程的达朗贝尔公式 A.坐标变换 )(x,t)=0 at 将。和。看作如同数一样的算子,可以进行加减乘除: )(x,t)=0 a=1,相当于沿ⅹ和t求导,变成沿对角线 x-at x+at 求导。当a不为一,则求导的线进行相应的 角度变化。 变换:x=(5+n)和t=(5-n) 显然 x+at 7=x-a a at a ax a 1 a +a as a5 at a5 ax 2a at 2 ax 2a atax a at a ax a an an at an 2a at a

7.4 达朗贝尔公式 定解问题 （一）波动方程的达朗贝尔公式 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 =   −   u x t x a t 将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： t  x  ( )( ) ( , ) = 0   −     +   u x t x a x t a t 当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线 求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的 角度变化。 变换： ( ) 2 1 x =  + 和 ( ) 2 1 =  − a t 显然，  = x + at  = x−at x x t t     +     =      x x t t     +     =      x t x −at x + at a t x  +   = 2 1 2 1 ( ) 2 1 x a a t   +   = a t x  +   = − 2 1 2 1 ( ) 2 1 x a a t   −   = − A.坐标变换 行波法

)(-a-)(x,D)=一 o句ns,m)=0 即 l(,)=0 B通解 对7积分 l(x,D)=f(2) 积分常数依赖于5 再积分: n/(M+f()=f(5)+f(n) 或 f(x+at)+f2(x-ar 为两个待定函数的和 作坐标变换:xt→X,T x-at T=t 新坐标的时间与旧坐标同,新坐标的原点X=0在旧坐标中有坐标x=a,即在 旧坐标中以速度d运动,而函数2(Xat)保持形状不变,以速度d运动沿x轴 正方向运动。 f1(x+at)保持形状不变,以速度d运动沿x轴反方向运动

( )( ) ( , ) 4 ( , ) 0 2 2 =    = −   −     +       u x t a u x a x t a t ( , ) 0 2 =        u 即 B.通解 对  积分： ( , ) ()  u x t = f   积分常数依赖于  再积分： ( ) ( ) ( ) ( ) u = f  d + f 2  = f 1  + f 2   或 ( ) ( ) = f 1 x + at + f 2 x −at 为两个待定函数的和。    = = − T t X x at 作坐标变换： x,t → X ,T 新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 ，即在 旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2 (x-at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴 正方向运动。 x = at f1 (x+at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动

C定解达朗贝尔公式 确定待定函数的形式 无限长,即无边界条件 设初始条件为41=0=0(x)和ul=0=v(x) -0<x<∞) f(x)+f(x)=(x) f(x)-f2(x) (5)d5+f1(x0)-f2(x0) aff'(x)-af2'(x)=(x) 0)=9+wM+1(x)(x)()=0(w(M2-2U(x)( f(x+a)=(x+a)+v(5)45+,U(x)-(x 4(r-a=lo(x-a)-Ij vl()ds-1U,(26 )-52(x)I f1(x+a)+f2(x-a) (x,1)=[(x+an)+(x-am)+|v(5)d5 2a x-at

C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数的形式 无限长，即无边界条件。 设初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = (−  x  ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x + f x = x '( ) '( ) ( ) 1 2 af x −af x = x ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x f x x x − = + −     [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 2 0 0 d f x f x a f x x x x = + + −      [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x x x x = − − −          d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , )  + − = + + − + [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x at x at x x − = − − − −      ( ) ( ) u = f 1 x +at + f 2 x −at [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 2 0 0 d f x f x a f x at x at x x + = + + + −     

例 X-x Sx≤x+x2 x1+x2 00(x 2 v(x)=0 lo 2 u(x, t) xx2 p(x) x 2 u(x, t=L(x+at)+o(x-at )1

例              + − − +   − − = 1 2 2 1 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 0 0 , , 2 2 , 2 2 , ( ) x x or x x x x x x x x x x u x x x x x x x x u  x  (x) = 0 (x) x 1 x 2 x 2 1 2 x + x 0 u x u0 ( ) 2 1  x x u(x,t) 1 x 2 x x [ ( ) ( )] 2 1 u(x,t) =  x + at + x − at

例 x1≤x≤x2 y(x) q(x)=0 0 解 (x,D)=v(5d w(5X5- y(5 2 Iv(sds y(ss Ods 0 x2 p(x) (M=[5+vJw5+」 y( 2a 2

例      = x x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 , ( )   ( x ) = 0 解 ：         d a d a d a u x t x at x at x at x at   −− +− +− = = − ( ) 21 ( ) 21 ( ) 21 ( , )   d a x x−  = ( ) 21 ( ) 1 x  x    d a d a x x x   − −  = = 0 21 ( ) 21 ( ) 1 2 x  x  x 2 x  x [ 0 1 ] 21 ( ) 21 ( ) 1 1    d  0 d a d a x xx x x     = = + − − [ 0 1 0 ] 21 ( ) 21 ( ) 2 21 1    d  0 d d a d a x xx xx x x      = = + + − − 1 x 2 x x (x) 0 = 0 ( ) 2 1 0 x x a = −  ( ) 2 2 1 0 x x a = − 

u(x, t)=v(5ds=v(5Y5-v(5yd5

1 x 2 x x − (x) 0         d a d a d a u x t x at x at x at x at    − − + − + − = = − ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , )

(二)端点的反射 个端点固定 (0x/a时,上式中后两项无意义。必须将u(X,t)延拓到这个范围 0D=0,作奇延拓:o(x)→(x)W(x)→甲(x) ≥0) (x≥0) d(x) ∫o(x) (x) v(-x)(x<0)

（二）端点的反射 一个端点固定 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 =   −   u x t x a t (0  x  ) 设初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = 边界条件 u x=0 = 0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x  0 。     d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , )  + − = + + − + t  x / a 时，上式中后两项无意义。必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。 u(0,t) = 0 ，作奇延拓： (x) → (x)  (x) → (x)    − −    = ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) x x x x x      −    = ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) x x x x x  

(x,1)=(x+a)+(x-a)]+|(5)d5 2 Lo(x +at)+o(x-at )I y(5)d2(t≤x/a) ux. t [p(x+ar)-(x-at)]+ v(s)ds (t2x/a) 2 v(5d5 2 2

 d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , ) =  + + − +   + −        + − − +  + + − +    + − + − ( ) ( / ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( / ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , ) d t x a a x at x at d t x a a x at x at u x t x a t a t x x a t x a t           ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( / ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0                         d a d a d a d a d a d a d a d a d a t x a a t x x a t x a t x a t x a t x a t x a t x a t x a t x a t          − + − − + − + − + + − = + − − = +   =  +  = + − −

半波损失

半波损失

个端点自由 2)(x,D)=0 (0<x<∞ 设初始条件为4=0=0(x)和u1|=0=v(x) 边界条件 uxx=0 =0 应该是偶延拓cmy=/mx)(x20) (x≥0) (x) (-x (x< (x< l(x,)=[d(x+a)+Φ(x-a)]+ H(2d5 2 Lo(x+at)+o(x-at)+ v()d5 (t≤x/a) u(x,t) Lo(x +at)+o(at-x)]+ ∫v(5)5+∫ v(d(t≥x/a) a 2 (t≥x/a) H()d5 H()d5 H()d5 l y(5d5 (-5)d5 x-ar Y-ar ()d y(-5)d(-5) 2aw(5)d5+ 2a了v(5)d(5)

一个端点自由 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 =   −   u x t x a t (0  x  ) 设初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = 边界条件 ux x=0 = 0 应该是偶延拓    −    = ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) x x x x x      −    = ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) x x x x x    d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , ) =  + + − +   + −        + + − + +  + + − +     + − + − ( ) ( / ) 2 1 ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( / ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , ) 0 0 d t x a a d a x at at x d t x a a x at x at u x t x a t a t x x a t x a t              ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( / ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0                         d a d a d a d a d a d a d a d a d a t x a x a t a t x x a t x a t x a t x a t x a t x a t x a t x a t          + − − − + − + − + + − = − − − = +   =  +  = + −