《数学物理方程》小结

小结 1.周期函数的傅里叶展开 周期为2/的函数(x满足f(x+2)=f(x) 对应方程:有边界条件 f(x)=a+∑{ ak cos k k +b, sin kax cos-,dx=0(k≠0) k f(scolds 1·sn=dx=0. n刀r b=,f(5) kTs COS dx=0(k≠m) kTx sin 2(k=0) sn-ax=0(k≠n), (k≠0) nZA cOS

小结 1.周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x + 2l) = f (x) 对应方程：有边界条件 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k     = = + +      − − − − −  =  =   =   =  =  l l l l l l l l l l dx l n x l k x dx k n l n x l k x dx k n l n x l k x dx l k x dx k l k x cos sin 0. sin sin 0 ( ), cos cos 0 ( ), 1 sin 0, 1 cos 0 ( 0),                = =   − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1          d l k f l b d l k f l a l l k l l k k     = = 1 ( 0) 2 ( 0) k k  k

2奇函数和偶函数的傅里叶展开 knx k 奇函数 COS 偶函数。 故奇函数f(-x)=-f(x)有 k 6. sin 其中 f(5) k5 ds 偶函数f(-x=fx)有 f(x)=a+∑ ak cos kx 其中a d1(2)0x2 ds 例 矩形 f(x) 波 1(2mx,(2m+1)丌) (2m-1),2m7x) 丌 x周期2xz奇函数

2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 l kx sin 奇函数， l kx cos 偶函数。 故 奇函数 f(-x)=-f(x) 有 ( ) sin , 1 l k x f x b k k    = = 其中 ( )sin . 1     d l k f l b l l k − = 偶函数 f(-x)=f(x) 有 ( ) cos , 1 0   = = + k k l k x f x a a  其中 ( ) cos . 1      d l k f l a l l k k − = 例 f (x) x 1 −1 0 −  2    − − + + = 1 ((2 1) ,2 ) 1 (2 ,(2 1) ) ( )     m m m m f x 周期 2 矩形 波 奇函数

傅里叶积分 无限区间:对应方程一无限长 f(x)= A(@)cos ando+ B(o)sin ando, A(0)=_L(55cososds, B(o=/(5)sin osds C(o)为振幅谱 或 f(x)=LC(o)cos[ox-(o)]do qp(O)为相位谱 偶函数 f(x) A(0)coS ordo, 奇函数 f(x)= b(o)sin ada A(O) f(s)cos asas B(O)= f(ssin asds

傅里叶积分 无限区间：对应方程－无限长 ( ) ( )cos ( )sin , 0 0   f x = A  x d + B  x d ( ) sin . 1 ( ) cos , ( ) 1 ( )            A  f d B f d    −  − = = ( ) ( )cos[ ( )] , 0  或 f x = C  x −  d ( ) ( )   C  为振幅谱 为相位谱 ( ) cos . 2 ( ) ( ) ( ) cos , 0 0         A f d f x A x d     = = ( )sin . 2 ( ) ( ) ( )sin , 0 0         B f d f x B x d     = = 偶函数 奇函数

5.3 函数 0,(x≠0) 6(x) l∞,(x=0) 0,(a,b0) δ(x)dx (a<0<b0) δ(x) d 2丌

5.3  − 函数     =  = ; ( 0) 0, ( 0) ( ) x x  x        =  1. ( 0 0) 0, ( , 0, , 0) ( ) a b a b a b x dx b a 或    − = , 2 1 ( )     x e d i x

第七章数学物理方程的定解问题 、波动方程 1.均匀弦的微小横振动 0 2均匀杆的纵振动 E-a(V ve=o 4.真空电磁波方程 .V)H=0 扩散方程 a2u 6热传导方程 =0 at 三、拉普拉斯方程V=0=4 7稳定分布扩散方程 a(VV)u=0

第七章 数学物理方程的定解问题 一、波动方程 1.均匀弦的微小横振动 0 2 utt − a uxx = 2.均匀杆的纵振动 ( ) 0 2 Ett −a  E =   ( ) 0 2 Htt −a  H = 4. 真空电磁波方程   二、扩散方程 0 2 2 2 =   −   x u a t u 6.热传导方程 7.稳定分布 扩散方程 ( ) 0 2 −  =   a u t u 三、拉普拉斯方程 ()u = 0 = u

72定解条件位移确定 1.初始条件(对t的积分) 类似于常微分方程定解过程的初值。 初始“位移” l(x,y,二,t q(x,y,2) 初始“速度”u4(x,y,,1)=0=v(x,y,=) 2边界条件(对x的积分) A.第一类边界条件 如:a两端固定的弦振动(x)2==0和 u(x 0 (x, t (x,1)x==0

1. 初始条件(对t的积分) 类似于常微分方程定解过程的初值。 ( , , , ) ( , , ) 0 u x y z t x y z 初始“位移” t= = 初始“速度” ( , , , ) ( , , ) 0 u x y z t x y z t t= = 7.2 定解条件 2.边界条件（对x的积分） A.第一类边界条件 如：a.两端固定的弦振动 u(x,t) x=0 = 0 和 u(x,t) x=l = 0 x u(x,t) x=0 = 0 u(x,t) x=l = 0 位移确定

B第二类边界条件 速度确定。 C.第三类边界条件 位移和速度的组合

B.第二类边界条件 速度确定。 C.第三类边界条件 位移和速度的组合