留数-‖ 例
留数－II 例
求区z=0处的留数 (1)f(2)=ze2 -2n 2n-1) 2e-=2 =n! 一阶极点 0 或 求/()=e在=0的留数 ∑ Ref(z)
求 z = 处的留数 2 1 2 (2 1) 0 0 1 1 ! ! z n n n n ze z z z n n − − − = = = = 一阶极点 或 1 z = 2 0 1 1 ! n n n = = 求 1 2 f e ( ) = 在 = 0 的留数 Res f z [ ( )] 1 =
∫(z)=c0sz-sin cos SIn ∑5, 2n+1 =0 n+ z=O为本性奇点 Reslf(z=l
1 1 cos sin = − 2 2 1 0 0 ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 2 ! (2 1)! n n n n n n n n + = = − − = − + z = 为本性奇点 Re [ ( )] 1 s f z =
计算积分 dz 2(z+1)(-1)(二+3) (二+)(z-1)(z+3) 阶极点=2=八阶极点B= dz 2(x+)3(x-1(x+3) 2ri(il+Re slf(1) Reslf(]=lim(z-D)f(z)=lim (二+)(二+3)4(1+i) (1+)34(√2em4)42c264
计算积分 8 2 ( ) ( 1)( 3) z dz z i z z = + − + 一阶极点 1 2 z z = = − 1, 3 八阶极点 3 z i = − 8 2 2 {Re [ ( )] Re [ (1)]} ( ) ( 1)( 3) z dz i s f i s f z i z z = = − + + − + 8 1 ( ) ( ) ( 1)( 3) f z z i z z = + − + 8 8 1 1 1 1 Re [ (1)] lim( 1) ( ) lim ( ) ( 3) 4(1 ) z z s f z f z → → z i z i = − = = + + + 8 4 2 / 4 8 1 1 1 1 4(1 ) 4 2 64 4( 2 ) i i i e e = = = = +
Resf(-切)=mq (z+1)3f(x)=2i 2→)-l 7!2dz(z-1)(z+3) lim Im 7!dz4z-1z+347!dz >(+3)2 lim(-1)7(z-1)3-(-1)7(x+3)3 47!x→-1 imn(3-1)38-(-1-1)31=[(3-1)3-(1+0) 4 2→-1 4 2(x+)(x-D(=+3)2m +[(3-1)8-(1+1)3]} 4(1+i)34 丌l 2(x+1)3(z-1)(z+3)2(3-1)
7 7 8 7 7 1 1 1 Re [ ( )] lim [( ) ( )] lim 7! 7! ( 1)( 3) z i z i d d s f i z i f z →− →− dz dz z z − = + = − + 7 7 1 1 1 1 lim [ ] 7! 4 1 3 z i d → − dz z z = − − + 7 7 1 1 7 7 1 1 lim[ ( 1) ( 3) ] 4 7! z i d d z z dz dz − − → − = − − + 1 1 7 8 7 8 lim[( 1) 7!( 1) ( 1) 7!( 3) ] 4 7! z i z z − − → − = − − − − + 1 8 8 lim[(3 ) ( 1) ] 4 z i i i − − → − = − − − − 1 8 8 [(3 ) (1 ) ] 4 i i − − = − − + 8 8 8 8 2 1 1 2 { [(3 ) (1 ) ]} z ( ) ( 1)( 3) 4(1 ) 4 dz i i i z i z z i − − = = + − − + + − + + 8 8 2 ( ) ( 1)( 3) 2(3 ) z dz i z i z z i = = + − + −
有没有更简单的办法 区域:圆内 圆内极点 2 3 积分反号 区域:圆外 圆外极点 2=不是极点 dz 2ri Reslf(31 (二+)(z-1)(z+3) 2i lim 2丌 二→ -3+(-3-1)=2483-0=23-1
有没有更简单的办法？ 2 圆内极点 1 z =1, 3 z i = − 区域：圆内 区域：圆外 积分反号 圆外极点 2 z = −3 8 2 2 {Re [ ( 3)]} ( ) ( 1)( 3) z dz i s f z i z z = = − − + − + z = 不是极点 8 8 8 8 3 1 1 1 2 lim 2 2 ( ) ( 1) ( 3 ) ( 3 1) 4(3 ) 2(3 ) z i i i i z i z i i i → − = − = − = = + − − + − − − −
计算 ooxsInx 偶函数,计算 e (上半平面) 1+x e le 2niRe,,2,4 订]=2 丌 1+i 1+i sinx e 丌 dx=Im[-丌 -01+x dx=Imj 1+x SINx 1+x e dx= 2i Re 二(e-e) (e=e 2(1+x 2(1+z)
计算 2 sin 1 x x dx x − + 偶函数，计算 2 1 ix xe dx x − + 1 1 2 1 2 Re [ , ] 2 2 1 1 1 ix xe ie e i i s i i x i i e − − − = = = − = − + + + （上半平面） 2 2 sin 1 Im Im[ ] 1 1 ix x x xe i dx dx x x e e − − − = = − = + + 2 sin 1 x x dx x − + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 Re [ , ] 2 (1 ) 2 (1 ) 2 ix ix iz iz x e e z e e e e dx i s i i x i z − − − − − − − = = = + +
