第一篇复变函数论 复变函数 微分和积分 泰勒展开和洛朗展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换
第一篇 复 变 函 数 论 复变函数 微分和积分 泰勒展开和洛朗展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换
第一章复变函数 1.1.复数 代数表示:X,y为实数,为单位虚数,则 z=X+ 为复数 且ⅹ为其实部,y为虚部,记 x=Rez y=Im
z y x 1 1 O 第一章 复变函数 代数表示: x ,y 为实数，i 为单位虚数，则 z = x + iy 且 x 为其实部，y 为虚部，记 x = Re z y = Im z 1.1. 复数 1 2 i = 为复数
几何表示 ⅹ轴为实轴,y轴为虚轴,构成复数平面复数z为 此平面上的一点 从几何上看,复数又是此平面上的一个矢量 P为矢量长度 9为幅角 X=pcos p 记 且 p=√x+y 和 o= arct(y/x) y=psin p 其它概念 尸=又称为模=Argz 主值0≤Ag≤2z)复共轭=x-=p0
i z = e 且 ( / ) 2 2 arctg y x x y = = + 和 sin cos = = y x = z = Argz 主值 (0 Argz 2 ) 复共轭 i z x iy e − = − = 又称为模 其它概念 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为 此平面上的一点 几何表示 从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量 为矢量长度 为幅角 记
复数的运算 x1+my1,2 Fly 加法=+2=(x+x)+(n+y)+451+2 减法=1-2=(x-x)+(1-y2)==2- 乘法1·=2=(xx-yy2)+1(xy2+x2y) 除法 21-X1x2+y1y21ix221-x122-P1p(0-2) xty 幂(n整数)="=p”e 根 /n z=vpe 逼近2→>0分x→>x0,y→>y
复数的运算 1 1 1 2 2 2 z = x +iy , z = x +iy 加法 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z + z = x + x +i y + y 1 2 1 2 z + z z + z 减法 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z − z = x − x +i y − y 1 2 1 2 z − z z − z 乘法 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z = x x − y y +i x y + x y 除法 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 − = + − + + + = i e x y x y x y i x y x x y y z z 幂（n整数） n n in z = e 根 i n n n z e / = 逼近 0 0 0 z → z x → x , y → y 1 2 i = −
测地投影和无限远点 N 如左图,一球的南极与复数平面的原点相切,平面上任意点A与球的北 极由一条直线相连,直线与球相交于A。由此,每一有限的复数投影到 球上一点。这个投影叫测地投影,这个球叫复数球 所有的无穷大复数(平面上无限远点)投影到唯一的北极N。故我们为 方便,将无穷远点看作一个点。其模无穷大,幅角无意义。 小结 复数z是两个独立变量(x,y)的集合。 它在数值计算中是一个整体,服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则; 它可以看作具有两个独立分量的量来表示(矢量)和计算
测地投影和无限远点 如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点A 与球的北 极由一条直线相连，直线与球相交于A’ 。由此，每一有限的复数 投影到 球上一点 。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。 所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。 N A’ A S 复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。 它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则； 它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。 小结
1.2.复变函数 比较与实变函数相对应的定义 实函数: y=f(x) y=f(x) 定义域、值域
1.2. 复变函数 比较与实变函数相对应的定义 实函数： y = f (x) x x y = f (x) 定义域、值域 y=f(x) y=f(x)
复函数a=/(=)=1+iv y =f(=) 0 O=f(=) → xX 定义域 值域
= u + iv 0 z x y z v 0 u = f (z) 复函数 = f z( ) 0 z x y z v 0 u = f (z) 定义域 值域
定义在复平面上一点集E中每一点,都有一个或几个复 数O与之对应,称O为z的函数,E为定义域, 记 =f(2)z∈E y(2 f(=) EZ 0 0 定义域 值域
定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复 数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域， = f (z) zE 记 0 z x y z v 0 u = f (z) 定义域 值域 E
实函数: 定义:对于实数域中一区域B中的每一实数ⅹ,都有唯 的一个实数y与之对应。则称y为X的函数。B为此函数 的定义域,记y=f(x)。 连续,可微: C"n次可微 C无限可微
实函数： 定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ，都有唯一 的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数 的定义域，记 。 连续，可微： y = f (x) n C C n 次可微 无限可微
几个概念 区域|=--0<7 邻域 复平面上圆￡内点的集合 区域B的内点z和它的邻域都属于B,则z为B的内点。 外点z和它的邻域都不属于B,则z为日的外点。 境界点 不是内点,也不是外点的点。 境界线 全体境界点的集合 区域 内点组成的连通集合 闭区域 区域和境界线的全体
邻域 区域 B 的内点 外点 境界点 境界线 区域 内点组成的连通集合 闭区域 区域和境界线的全体 全体境界点的集合 不是内点，也不是外点的点。 z 和它的邻域都不属于 B， 则 z 为 B 的外点。 z 和它的邻域都属于 B， 则 z 为 B 的内点。 复平面上圆 内点的集合 几个概念 z z r z − z r 0 0 z 区域