例在第一类边界条件下在[0,1将f()=按零阶贝 塞耳函数展开 解:p2=∑(VAp) 第一类边界条件 012 0 2 lNO2bpJo(un p)pdp xo(x)dx
例 在第一类边界条件下在[0,1]将 按零阶贝 塞耳函数展开。 2 f () = 解： ( ) 0 0 1 2 n n n f J = = J d N f n n n ( ) [ ] 1 0 0 1 0 2 0 2 = 0 2 1 2 0 2 [ ( )] 2 [ ] n n J a N = 第一类边界条件 0 =1 x J x dx N n n n ( ) ( ) [ ] 1 0 0 3 0 4 0 2 0 =
书上结果: [xJ1(x)+2x2J0(x)-4xJ1(x)] (HOInoj (√∠0)N 例半径a,高2h的圆柱导体(电导为σ),恒定 电流/从上底中心垂直流入,从下底中心流出, 求柱内电势 解:(1)△=0E=-VOE=i 垂直于柱面的电流强度为零l 0
书上结果： 0 0 1 0 2 1 3 0 4 0 2 [ ( ) 2 ( ) 4 ( )] ( ) [ ] 1 n x J x x J x x J x n Nn = + − 0 3 0 2 1 0 ( ) [ ] ( 4) ( ) n n n N J x − = 例 半径a，高2h的圆柱导体（电导为 σ），恒定 电流I从上底中心垂直流入，从下底中心流出， 求柱内电势。 解： u = 0 E = −u (1) E = i 垂直于柱面的电流强度为零 u =a = 0
垂直于上下底面的电流强度1,则电流密度为i 18(p) 2Ip 18(p δ(P)坐标原点 2|2 和 兀D 1=h-2nD在柱中 (2)由边界条件,解是轴对称的,对z的导数是z的偶 函数,即解为z的奇函数,故解应为 (,=)=+B=+∑ u. sinhe(yA=)J0(y∠p) (x0)=-J(x2)=0
2 I ( ) uz z=h = 2 I ( ) 和 uz z=−h = (2) 由边界条件，解是轴对称的，对z的导数是z的偶 函数，即解为z的奇函数，故解应为 垂直于上下底面的电流强度 I ，则电流密度为 2 I ( ) i = 坐标原点 在柱中心 ( , ) sinh( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 n n n n u z A B z u z J = = + + '( ) ( ) 0 (1) 1 (0) J0 xn = −J xn = 2 (1) (0) ( ) a xn n =
(O+b)=B1+∑ Vu, cosh(y∠mb(VA) 10(p) 2mpσ 18(P)J0(√A0p)m (N0)2。2兀pσ (N0)22兀G un cosh(vu h) 1 8(p) (M0)2」J(V0p) 2丌o N0)22丌a un cosi (√m1b)N0)2z7
J d I N B a ( ) 2 ( ) ( ) 1 0 0 0 0 (0) 2 0 0 = ( ) 2 1 (0) 2 0 I N = d I J N u h n a n n n n 2 ( ) ( ) ( ) 1 cosh( ) 0 0 0 (0) 2 0 0 = ( ) 2 1 (0) 2 I Nn = cosh( )( ) 2 1 0 0 (0) 2 I h N u n n n n = 2 ( ) ( , ) cosh( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 I u h B u h J n n n n z = + n = =
<e(m)o(roy ) (0)12 C 0 2 a 7o 丌O(x (1)2 m2Jo(a)]? cosh(vu, h) (n:)=4+2 ∑ SIr 7G1[(x)2-m2[0(x0)2cosh(√42h)
(1) 2 ( ) 0 2 (0) 2 2 ( )[ ( )] 2 1 [ ] m n n n J x m N a = − 2 [ ] 2 (0) 2 0 a N = 0 2 a I B = [( ) ][ ( )] cosh( ) (1) 2 0 0 (1) 2 2 0 x m J x h I u n n n n n − = sinh( ) ( ) [( ) ][ ( )] cosh( ) ( , ) 0 0 0 1 (1) 2 0 0 (1) 2 2 0 0 2 n n n n n n n z J x m J x h I a Iz u z A = − + = + +
例计算积分 =JP(x)(x)(2+)(x)=P21(x)-B1(x) P(x)=P-2(x)+(2k-1)F-1(x) 24(x)+(2k-1)P-1(x)+(2k-5)23(x) B(x)+(2k-1)B1(x)+…+[2(k-2n-2)+1B-1(x)……· k+l 偶数=0
(2 1) ( ) '( ) '( ) 1 1 l P x P x P x + l = l+ − l− '( ) '( ) (2 1) ( ) 2 1 P x P x k P x k = k− + − k− '( ) (2 1) ( ) (2 5) ( ) 4 1 3 P x k P x k P x = k− + − k− + − k− 例 计算积分 − = 1 1 I P '(x)P(x)dx k l k +l = 偶数 I = 0 '( ) (2 1) ( ) [2( 2 2) 1] ( ) 4 1 (2 1) P x k P x k n P x = k− + − k− ++ − − + k− n+
k=1+(2n+1) 2(k-2n-2)+1=2+1 =2/+1jP(x)P(x)d=2 将下列方程分离变量: a1(x)2+b(y)2 u+b2( x9(x)0+n2e 0
k = l + (2n +1) 2(k − 2n − 2) +1= 2l +1 [2 1] ( ) ( ) 2 1 1 = + = − I l P x P x dx l l 将下列方程分离变量： ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 2 2 2 1 2 1 = + + + y u b y x u a x y u b y x u a x
解u=XY a,(x)x"Y+b(xr +a,(xxy+b,(Xr=o a,(xx +2(x)y b,(y)r b,(r' 0 Y Y a()x"+2(x)X=(yy+2(y)y=-2 Y a1(x)X"+a2(x)X+X=0 6, r+b, rnr=0
解 u = XY a1 (x)X''Y +b1 (y)XY''+a2 (x)X'Y +b2 (y)XY' = 0 0 ( ) '' ( ) ' ( ) '' ( ) ' 1 2 1 2 + + + = Y b y Y Y b y Y X a x X X a x X + = − + = − Y b y Y Y b y Y X a x X X a (x)X '' ( ) ' ( ) '' ( ) ' 1 2 1 2 b1 (y)Y''+b2 (y)Y'−Y = 0 a1 (x)X''+a2 (x)X'+X = 0
例 at ax Ae -akt Be B kt 0 解L=w+v W一kw (v1-kvx)=0 sin a(l-x) SIn +B sin al sin Bl
例 == = = − = − = − = 0 ,0, 00 2 2 2 2 t kt x l kt x uu Ae u Be xu k tu 解 u = w + v wt − k wxx = − ( v t − k vxx ) = 0 kt kt e lx e B l l x v A 2 2 sin sin sin sin ( ) − − + − =
Ae =Be"B kt x=0 =0 0 sin a(l-x) +B t=0 A sin al sin Bl sIn a (l-x),p sin Bx t=0 tB sin al 由边界条件 w=∑ )kt, n7 由初始条件v=∑4smn"n=A3ma()+B5mB sin al sin Bl
kt x l kt v x Ae v Be 2 2 , 0 − = − = = = w x=0 = 0,w x=l = 0 l x B l l x v t A sin sin sin sin ( ) 0 + − = = ] sin sin sin sin ( ) [ 0 l x B l l x w t A + − = = − l n x w A e kt l n n n sin 2 ( ) 1 − = = ] sin sin sin sin ( ) sin [ 1 0 l x B l l x A l n x w A n t n + − = = − = = 由边界条件： 由初始条件