8.3非齐次边界条件的处理 方法1 .-a2u=0 齐次方程 例 (x,1)x=0=1() u(x 第一类 非齐次边界条件 =o(x) A=0=v(x) 非零初值 A u(x, t)=v(x, t)+w(x,t) 第一类非齐次边界条件 l(x,1)1x0=1() v(t)-() x+(t) ult. t
8.3 非齐次边界条件的处理 方法1 0 2 utt − a uxx = ( ) 0 u x t= = ( ) 0 u x t t= = ( , ) ( ) 0 u x t t x= = u(x,t) (t) x=l = 例 齐次方程 第一类 非齐次边界条件 非零初值 令 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) 第一类非齐次边界条件 ( ) ( ) ( ) ( , ) x t l t t v x t + − = ( , ) ( ) 0 u x t t x= = u(x,t) (t) x=l =
(t)-(t C x+() wr=-(vu -a'v) "(t)-A"(t) x+u(t) w-a wxx x+"(t 非齐次方程 r(x2O)=0=0(x,x 齐次边界条件 w=0(x)-v=0 will=o=U(x)-v,=
( )]" ( ) ( ) ( ) [ 2 2 x t l t t w a w v a v t t xx t t xx + − − = − − = "( ) "( ) "( ) ( ) 2 2 x t l t t w a w v a v t t xx t t xx + − − = − − = "( ) "( ) "( ) 2 x t l t t wt t a wxx + − − = 非齐次方程 w(x,t) x=0 = 0 w(x,t) x=l = 0 齐次边界条件 0 0 ( ) t= = − t= w x v 0 0 ( ) t t= = − t t= w x v
8.3非齐次边界条件的处理 例 弦的x=0端固定,x=1端受迫在谐振动 Asing, 弦的初始位移和初始速度均为零,求弦的振动 解泛定方程 2 0 u(x, t x=0 u(x, dlre/=Asin at 0 t|t=0 0 源(在边界上)
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 解 0 2 utt − a uxx = 0 u t=0 = 0. ut t=0 = u(x,t) x=0 = 0 u x t A t ( , ) x=l = sin 泛定方程 源（在边界上）
t 0 u(x, tx-0=0 u(x, tlxe)=Asin ot Xx 0 方法1 基本想法 l(x)=v(x,)+(x, 设定待求 v(x,.)满足非齐次边界条件 非齐次方程 满足齐次边界条件 初始条件为零 设v(x1)=( Asin ot)x/l vx)==0v(x,)l== asin t(x)=0=0w(x)2==0 0 0 w-a w (Vu -afv=(Asin at @x/
0 2 utt − a uxx = 0 u t=0 = 0. ut t=0 = u(x,t) x=0 = 0 u x t A t ( , ) x=l = sin 方法1 设 v(x,t) = (Asin t)x /l u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) v t=0 = 0 0. vt t=0 = v(x,t) x=0 = 0 v x t A t ( , ) x=l = sin 0 w t=0 = 0. wt t=0 = w(x,t) x=0 = 0 w(x,t) x=l = 0 w a w v a v A t x l t t xx t t xx ( ) ( sin ) / 2 2 2 − = − − = 基本想法 设定 待求 v x t ( , ) 满足非齐次边界条件 w x t ( , ) 满足 齐次边界条件 非齐次方程 初始条件为零
方法2求齐次边界条件的齐次方程 (初始位移或速度不为零)。 1-an=-(vn-a)=0 v(x, t)=X(xsin at x+O2x=0X()=0,X()=A X(x)=Ccos(ox/a)+Dsin( ax/a) Y(0)=0→C=0 X()=A→ D=A/sin (ol/a) v(x,) sin( ox/a)sin at sin(al/a)
方法2 求齐次边界条件的齐次方程 （初始位移或速度不为零）。 令： v(x,t) = X (x)sin t ( ) 0 2 2 wt t − a wxx = − vt t − a vxx = '' 0 2 2 + X = a X X(0) = 0, X(l) = A X (x) = Ccos(x / a) + Dsin(x / a) X (0) = 0 C = 0 X (l) = A D = A/sin(l / a) x a t l a A v x t sin( / )sin sin( / ) ( , ) =
(v -av)=0 v(x, t= sIn( ox/asin at sin(ol/a) Xx 0v(x,)=0=0v(x2) x=l Asin ot OAsin( ax/ a) t=0 =0 sin( al/a v(x)2=0=0(x) /=/=0 =0 oasin( ax/a) sin(ol/a) v.-a2=0
( ) 0 2 2 wt t − a wxx = − vt t − a vxx = x a t l a A v x t sin( / )sin sin( / ) ( , ) = 0 2 vtt − a vxx = v(x,t) x=0 = 0 v x t A t ( , ) x=l = sin v t=0 = 0 sin( / ) sin( / ) 0 l a A x a vt t = = 0 w t=0 = . sin( / ) sin( / ) 0 l a A x a wt t = = − w(x,t) x=0 = 0 w(x,t) x=l = 0 0 2 wtt − a wxx =
w(x.)=∑(4 naat naat 1 cOS +B sin) 初始条件 0 系数 2 @Asin(asa) nT5 Sin 75 n sin(ol/a) 20A SI ds nasin(ol/a) 20A la o/a-(nr)/74 A v(x,1)=-2 allo sin( ox/a)sin ot 2A0 naat amOn丌
( , ) ( cos sin )sin . 1 l n x l n at B l n at w x t An n n = + = 初始条件： An = 0 d l n l a A a n a B l n sin sin( / ) 2 sin( / ) 0 = − d l n a n a l a A l sin( / )sin sin( / ) 2 0 = − 2 2 2 2 / ( ) / 2 1 ( ) la a n l n A − = − l n x l n at l n a al A x a t l a A u x t n sin sin 2 1 sin( / )sin sin( / ) ( , ) 1 2 2 2 2 2 = − + = + 系数