例: 长/柔软均质重绳,一端固定在匀速转动的 竖直轴上。由于重力作用,绳的平衡位置应为 竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动 方程。 解:绳的线密度为p,它在x处受的重力为 x p(l-x)g x+△v 7(x,)相对于竖直线的偏离为a(x,) (0,×)一段在x处受重力p(-x)g;由于 r(x+Ax作用力等于反作用力,(x,X+dx)一段在 x处受(0,x)一段的张力也为p(-x)g 同理,(xx+d×)一段在Ⅺ+dx处受张力为 l-x-dx)g 这一段的惯性离心力为 edxa2lv(x,)
例： 一长 l 柔软均质重绳，一端固定在匀速转动的 竖直轴上。由于重力作用，绳的平衡位置应为 竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动 方程。 解：绳的线密度为 ρ，它在 x 处受的重力为 (l − x)g 相对于竖直线的偏离为 u(x,t) 。 x x+x 0 T(x,t) T(x + x,t) (0,x) 一段在 x 处受重力 ；由于 作用力等于反作用力，(x,x+dx) 一段在 x 处受(0,x) 一段的张力也为 。 (l − x)g (l − x)g 同理， (x,x+dx) 一段在 x+dx 处受张力为 (l − x − dx)g 这一段的惯性离心力为 dx 2 u(x,t)
P(l-x-dx)gu lxde-p(I-x)gurx pdxou=(pdx u (-x-dxgn xx+dx (l-x)gux x+dou=dx (l-x)g xx+dx (I-x)guxx1/dx+ tt tt g[(-x)u=ou OX
x x dx gux x dx u dx ut t (l x dx)gu (l x) ( ) 2 − − + − − + = x x dx gux x dx u dxut t l − x −dx gu + − l − x + = 2 ( ) ( ) x x dx gux x dx u ut t l − x gu + − l − x + = 2 [( ) ( ) ]/ u u x l x x ut t g 2 [( ) ] = − −
例如图:弦上x=0处固结一质量为M的质点, 导出横振动问题中此点的衔接条件。 T 解:设 (x,t)(x0) 弦在x=0是连续的: 1(x,1)=a2(x,)( M的加速度由1(x,1)或n(x)描述应相同: Ou(,t du,(x, t)m Ou,(x, t) OX OX
例 如图：弦上 x=0 处固结一质量为 M 的质点， 导出横振动问题中此点的衔接条件。 x = 0 T M T x 解： 设 = ( , ) ( 0). ( , ) ( 0) ( , ) 2 1 u x t x u x t x u x t 弦在 x=0 是连续的： ( , ) ( , ) 1 2 u x t = u x t (1) M 的加速度由 u1 (x,t) 或 u2 (x,t) 描述应相同： x u x t T x u x t T t u x t M t u x t M − = = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 (2)
例:一端固定的细杆,将另一端拉长e而突然放手, 求其定解条件。 e 63设长为l的均匀细直杆的侧面与外界无热交换,开始时,杆上同~截面具同一温度 且一端有一稳恒热流注入,另一端在零度的介质中自由冷却,试推导杆的传热方程及定解条 件 l(,t)
一端固定的细杆，将另一端拉长 e 而突然放手， 求其定解条件。 例： x = 0 x x = l 0 q U u(l,t) e x = 0 x x = l f
边界条件:x=0静止:v(0,1)=0 x=1自由:a1()=0 初始条件:伸长: e l(x,0)=x 静止: (x,0)=0 边界条件:x=0 恒定热流:u2(0,1) x=l 自由冷却:+hn.=U 初始条件: l(x,0)=q(x)
边界条件： u(0,t) = 0, u (l,t) = 0, x x = 0 静止： x = l 自由： 初始条件： x l e 伸长： u(x,0) = 静止： u (x,0) = 0. t * ** 边界条件： x = 0 恒定热流： k q u t x (0, ) = − x = l 自由冷却： u + Hux =U 初始条件： u(x,0) =(x)
例:如图:单位质量Q在连续分布的质量外,V中的质量分布为风(xy,=),求V 对Q的引力势满足的方程。 Gp G 5),(y-m),3(2-5) x,) (x-2)2+(y-n)2+(-)2 (,,5) 可证:VF=0 F(x,y,)=Gp(5,7,5 F(x,y)=Gp(5,n5) F(x,y)=Gp(5,7,) 又,单位质量受引力势为d l(x,y,=)= 或:VF=-V(Va)=0 △a(x,y,z)=0
如图：单位质量 Q 在连续分布的质量 V 外，V 中的质量分布为 ，求 V 对 Q 的引力势满足的方程。 例： (x, y,z) x y z V Q(x, y,z) (,, ) dV ( ( ), ( ), ( )) 2 3 3 3 = = − − z − r G y r G x r G dV r r r G dF 2 2 2 r = (x − ) + ( y −) + (z − ) dV r x F x y z G V x 3 ( ) ( , , ) ( , , ) − = dV r y F x y z G V y 3 ( ) ( , , ) ( , , ) − = dV r z F x y z G V z 3 ( ) ( , , ) ( , , ) − = 可证： F = 0 又，单位质量受引力势为 dV r G du = − dV r G u x y z V = − ( , , ) F = −u 或： F = −(u) = 0 u(x, y,z) = 0
6-5设长为l的均匀细弦作微小横振动,其两端束缚在与弦平衡位置垂直的弹簧上,弹 性系数分别为k与k,试推导两端边界条件的数学表达式 F F 7777777 zzzfirirz (b) a)x=0处一小段△x的沿 y方向力 Tsin a-kl(△x,t)=Axln sia≈na=1Ax→>02(O,1)-k(0,1)=0 )X=|处一小段△x的沿y 方向力 sina-k(-△x,1)=m 由于夹角的方向与 x处相反,故 (2,2)+k1(2)=0
a) x=0 处一小段 的沿 y 方向力： x tt T sin − k0 u(x,t) = x u = ux sin tan x →0 Tux (0,t) − k0 u(0,t) = 0 b) x=l 处一小段 的沿 y 方向力： x 由于夹角 的方向与 x=l 处相反，故 Tux (l,t) + k1 u(l,t) = 0 tt −T sin − k1 u(l −x,t) = x u
区域 边界条件 固有值问题 固有值 固有函数系 0 +减(0)=04=(a)2> (6) a|-R=f(6) φ(0)=g(a)=0 n=1,2, u|6-0=u|e-a=0 R0 中,(0)=sin"0 0<0< f2(6) Φ(0)=(a)=0 0≤0<2r f(6) φ"(0)+冲p(0)=0入=n2≥0 {,(6)} 0≤r<R|4(r,+2x)=u(,)(+2x)=p(B)n=0,1,2,…|=1os,sino=1 f1( 0≤6∠a(r,+2x)=(,/(+2)=(6)n=012… l!r=,=f2(6) λ=n2≥0 φn(日)} 竺{1,cosn0,sinn0}m1
n(,y)=u(a,y)=01/x"(x)+(x)=0=(-)2>0 (x,0)=p(x X(x)=sin x (x,b)=中x) X(0)=X(a)=0 n=1,2,… a(0,y)= x"(x)+AX(x)=02 2n+1 )2>0X,(x)=sin 2n+1 a sr u(x,0)=g(x) X(0)=x(a)-0 u(xb)=乡(x) n=0,1,2, 0<x<a n=0,1,2, 7=0,1,2, x2(0,y)=a2(a,y)= (x0)=g x"(x)+X(x)=0 )2≥0 X (r)=cos -t u(x, b)=y(r) X(0)=X"(i)=0 n=0,1,2,… n=0,1,2, 注:1.固有值问题由一组齐次边界条件确定,与另一组边界条件无关; 2.上述两组边界条件可对调位置
7-4解定解问题 3= ∈(0,),t>0 (0,t)=0, (l,t)+hu(l,t)=0,t>0,h>0 u(x,0)=g(x), x∈[0,] t(x,0)=y(x) x∈[0,1 解:X"+X=0 X(x)= Ccos vax+Dsn√λx X(0)=0 C=0 X(D)+hY()=0h>0 DI√2cos√Ax+hsn√λx]=0 hI tan e 交点
解 ： X ' ' + X = 0 , X ( 0 ) = 0 X'( l ) + hX ( l ) = 0 h 0 X ( x ) = C cos x + Dsin x C = 0 D [ cos x + hsin x ] = 0 − = hl tan = l 交点