《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第十章（10-1）例题

10.1例题 证明整数m<n,有 x"P(xdx=0 证明 x"(x)h=1 x"2(1-x2) 2 n X -m x 2 nd dx (1-x2) dx

10.1例题 1. 证明整数 m  n ，有 ( ) 0 1 1   x P x dx n m 证明： l n n m n n m x dx d x n x P x dx (1 ) 2 ! 1 ( ) 2 1 1 1 1     [ (1 ) (1 ) ] 2 ! 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 l n n l m n n m n x dx d x m x dx d x n             l n n m n x dx d x n m (1 ) 2 ! 2 1 1 1 1 1         

2 nl dx 1-m (1-x2)1=0 2.内半径a而外半径2a的均匀球壳,内、外表面温 度分别为0和u。求球壳内的稳定温度分布 解:完全球对称,温度分布与日,0无关。拉普拉斯 方程写作 (r2)=0 u(a) l(2a)

(1 ) 0 2 ! ! ( 1) 1 1 2 1 1          l n m n m n m x dx d n m 2. 内半径 a 而外半径 2a 的均匀球壳，内、外表面温 度分别为 0 和 u0 。求球壳内的稳定温度分布。 解：完全球对称，温度分布与 无关。拉普拉斯 方程写作  , ( ) 0 1 2 2  dr du r dr d r 0 u(a)  0, u(2a)  u

这是常微分方程边值问题,通解为 u=c+ dr 带入边界条件v(a)=C+Da=0C=-Da-1 l(2a)=-D2+D(2a)y=l0D=-2al L=20(1 3.半径a的导体球壳,在b=a处用一绝缘细环将 球壳分为两部分。球壳上电势为 U(0≤6≤a) l(a20)= a<≤)

这是常微分方程边值问题，通解为 1 u  C  Dr 带入边界条件 ( ) 0 1     u a C Da 1 C  Da 0 1 1 u(2a)  Da  D(2a)r  u   D  2au0 2 (1 ) 0 r a u  u  3. 半径 a 的导体球壳，在 处用一绝缘细环将 球壳分为两部分。球壳上电势为   a         0 ( ) (0 ) ( , )     a U a u a

球球壳内部电势。 解:△=0, 球克内()=∑47B(os (an)=∑4aP(cosb) 21+1ca 2 UP(cos O)sin 0d0 0 (2/+1) P(x)dx cos a

球球壳内部电势。 解： u  0, r ( , ) (cos ) 0  l  l l u r  Alr P   球壳内  ( , ) (cos ) 0  l  l l u a  Ala P    UP  d l A a l a l l (cos )sin 2 2 1 0   P x dx l U l a ( ) 2 (2 1) 1 cos  

由于递推关系 21+111 0 a IP1(x)-P1(x)=[P1(x)-P1(x) 2 2 cos a dcos a 2 7-(cos a)-P+(cos ax =0 sin 0d0=-(1-cos a) U l(r,)==(1-cosa)+ 2 2 LIP- (cos a)-P+ (cos ax)1-P(cos 0)

由于递推关系： [ ' '] 2 1 1 1  1  l  Pl Pl l P P x P x dx U A a l l a l l [ '( ) '( )] 2 1 1 1 cos      1 1 1 cos [ ( ) ( )] 2 l l a P x P x U     [ (cos ) (cos )] 2 1 1 P a P ax U  l  l l  0 l  0 (1 cos ) 2 sin 2 0 0 a U d U A a       [ (cos ) (cos )] (cos ) 2 (1 cos ) 2 ( , ) 1  1 1 l  l l l l l P a r P a P ax U a U u r         