§2.1导数概念 、引例 导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 自
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 §2.1 导数概念 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、引例 1.直线运动的速度 引例一】变速直线运动物体的速度 设质点沿直线运动,在直线上引入原点和单位长度 使直线成为数铺,取一个时刻作为测量时间的零时间 t=0 t=to t=t 5=f(0) 设动点于时刻在直线上所处的位置为s,于是s=f(t), 称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的 瞬时速度呢? 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、引例 设动点于时刻在直线上所处的位置为s，于是s=f(t)， 称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的 瞬时速度呢? 1.直线运动的速度 下页
2.切线问题 求曲线y=(x)在点Mx02y)处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+Ax,y+△y),作割线MN, 设其倾角为.观察切线的形成 当Ax->0时,动点N将沿曲线趋向于定点M,从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 y- 于切线M的斜率: tana= lim tang- lim △x0△x CM imnf(x+△x)/(x) DC △x>0 △ Do 画演示首 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0 )处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x→0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率 动画演示 x y x x = = →0 →0 tan lim tanj lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 首页
二、导数的定义 函数在一点处的导数与导函数 导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义.如果极限 lim Ay= lim f(xo+Ax)-1(o) △x>0△x△x→>0 △x 存在,则称函数x)在点x处可导,并称此极限值为函数 f(x)在点x处的导数,记为f(xo),即 f(o)=lim 4y f(x0+△x)-f(x0) Im △x→>0△x△x->0 如果上述极限不存在,则称函数(x)在点x处不可导 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 二、导数的定义 存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数 f(x)在点x0处的导数 记为f (x0 ) 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 下页 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限 ❖导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导
导数的定义式 f(x0)=lin△y f(x+△x)-f(x0) △x→0△xAx->0 导数的其它符号 或 df(x) dx dx 导数的其它定义式 f(x、_1f(+h)-f(x) h→>0 h f(xo= lim /(x)-/(1-o) >x0 X-X 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •导数的其它符号 下页 •导数的其它定义式 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 导数的定义式: x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0
导数的定义式 △ f(x+△x)-f(x0) △x→0△xAx->0 △ f(ro)=lim f(o+h-f(o)-lim f(x-f h->0 h x->x0 -X 例1求函数y=x2在点x=2处的导数 解如(2+)=/2、(2+Am2-2 △x>0 △x △x in(4+△x)=4 △x>0 或r(2=1m1(x)-(21m2-2=m(x+2)=4 x->2x 2 X x>2 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求函数y=x 2在点x=2处的导数 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → x x x f x f f x x + − = + − = → → 2 2 0 0 (2 ) 2 lim (2 ) (2) (2) limlim (4 ) 4 0 = + = → x x lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x 或 x x x f x f f x x + − = + − = → → 2 2 0 0 (2 ) 2 lim (2 ) (2) (2) lim lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x 下页x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 导数的定义式:
导数的定义式 f(xo)=lin Ay= lim f(o+Ax)-f(ro) △x→0△xAx->0 △ f(ro)=lim f(x0+/h)-f(x0) lim f(x)-f(x0) h->0 h x->x0 -X 导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间每一点x都对应一个导数值, 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数, 简称导数,记作 y,f(x), dy 或 df(x) dx dx 提问:导函数的定义式如何写?f(xo)与f(x)是什么关系? 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 导数的定义式: •导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作 y f (x) dx dy 或 dx df (x) 提问: 导函数的定义式如何写? f (x0 )与f (x)是什么关系? 下页
2.求导数举例 例2求函数x)=C的导数(C为常数) H: f(x)=lim(x+h-f(=lim C-C 0 h->0 h->0 h 即(C)=0 例3求f(x)=的导数 解f(x)=lm/(x+b)f(x) xth x h→>0 h o h h Im h→>0h(x+h)xh→0(x+h)xx 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 − + = + − = → → 例2 求函数f(x)=C 的导数(C为常数) 解 即 (C) =0 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 下页 2.求导数举例 解 例 2 求 x f x 1 例3 ( )= 的导数 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 − + = + − = → →
2.求导数举例 (C)=0,(y=-1 2√x 例4求f(x)=√x的导数 解f(x)=m(x+h)-f(x) -lim vx+h h->0 h h→>0 h m = Im h>0h(√x+h+√x)h0√x+h+√x2x 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 h x h x h f x h f x f x h h + − = + − = →0 →0 lim ( ) ( ) 解 ( ) lim 例 例 3 4 求 f (x)= x 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h + − = + − = →0 →0 lim ( ) ( ) ( ) lim h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → 下页 2.求导数举例 (C) =0 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = x x
2.求导数举例 C)′=0,(-) )=x X 例5求函数(x)=xn(mn为正整数)在x=a处的导数 解f(a)=lim f(x)-f(a) m x→a x-a x→>aX-a lim(rn-I+axn-2+. +an-)=na- x→)a 把以上结果中的a换成x得f(x)=nxn-1,即(x)y=mxn 更一般地,有 (x)=-1(其中为常数) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (C) =0 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = x x 2.求导数举例 解 f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim x a x n an x a − − = → lim 例5 求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数 更一般地 有 (x ) =x −1 (其中为常数) 把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn−1 即(x n ) =nxn−1 解 =nan−1 解 f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim x a x n an x a − − = → lim (x n−1+axn−2+ +a n−1 ) x→a =lim 下页
