第十一章柱函数 三类柱函数 1.贝塞耳方程 贝塞耳方程: d2r 1 dR +(1--2)R=0 虚宗量贝塞耳方程: dr 1 dR (1+-2)R=0 球贝塞耳方程: d dR d(d1+2-1(+1)R=0 2.三类柱函数 (1)v阶贝塞耳方程 dr dR +(x2-v)R=0 dx m→V≠整数或半奇数
第十一章 柱函数 11.1 三类柱函数 (1 ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = x m dx dR dx x d R 1. 贝塞耳方程 贝塞耳方程： 虚宗量贝塞耳方程： (1 ) 0 1 2 2 2 2 + − + R = x m dx dR dx x d R ( ) [ ( 1)] 0 2 2 2 + k r − l l + R = dr dR r dr 球贝塞耳方程： d 2.三类柱函数 (1) 阶贝塞耳方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − R = dx dR x dx d R x m → 整数或半奇数
v阶贝塞耳函数 J(x)=∑(-1) v+2k k!r(v+k+1)2 其中「函数定义为 T(x) r(0)→>∝ 它有递推关系: T(x+1=xr(x) r(-m)->∞ 当ⅹ为正整数 r(x+1)=x! 另一个解 -+2k v阶贝塞耳函数 J1(x)=∑(-1) k=0 k!r(-V+k+1) 通解: (x)=c,(x)+c2_(x) (2)m阶贝塞耳方程 m(x)=(-1y-1 m+2k k!(m+k)!2
k k k x k k J x 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( 1) + = + + = − − − = 0 1 (x) e t dx 其中 t x Γ-函数定义为 它有递推关系： (x +1) = x(x) 当 x 为 正整数 (x +1) = x! 另一个解 k k k x k k J x 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( 1) − + = − − + + = − m k k m m x k m k J x 2 0 ) 2 ( !( )! 1 ( ) ( 1) + = + = − 通解： ( ) ( ) ( ) 1 2 y x c J x c J x = + − (2) m 阶贝塞耳方程 阶贝塞耳函数 − 阶贝塞耳函数 (0) → (−m) →
Jn(x)只能从m=k开始 l=k-m =∑(-1) k!r(-m+k+1)2 =0 (+m)I(+1 >(-1)m1 =(-1)∑(-1) (-1)"Jn1(x) =0 (+m)l!2 l(+m)!2 J(x)与J(a)相互不独立。y(x)=c1Jm(x)+cyJm(x)不再是通解。 (3)诺依曼函数 N(x)=J (x)cosVI-J,(x) SIn v7 它与J(x)和J-(x)都相互独立。 v阶贝塞耳方程的通解又可以写作y(x)=cJ(x)+c2N(x) m阶贝塞耳方程的通解只能写作y(x)=c1Jn(x)+c2Nn(x) Nm(x)=-(n+C)Jm(x)
只能从 m = k 开始。 m k k m k m x k m k J x 2 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( 1) − + = − − + + = − m l l l m x l m l 2 0 ) 2 ( ( )! ( 1) 1 ( 1) + = + + + = − l = k −m m l l l m x l m l 2 0 ) 2 ( ( )! ! 1 ( 1) + = + + = − J (x) −m m l l m l x l l m 2 0 ) 2 ( !( )! 1 ( 1) ( 1) + = + = − − ( 1) J (x) m m = − ( ) ( ) ( ) 1 2 y x c J x c J x J−m (x) 与 J m (x) 相互不独立。 = m + −m 不再是通解。 (3) 诺依曼函数 sin ( ) cos ( ) ( ) J x J x N x − − = J (x) J (x) 它与 和 − 都相互独立。 阶贝塞耳方程的通解又可以写作 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x c J x c N x = m + m ( ) ( ) ( ) 1 2 y x c J x c N x = + m 阶贝塞耳方程的通解只能写作 ) ( ) 2 (ln 2 ( ) C J x x N x m = + m
(4)第一种和第二种汉克尔函数 H2(x)=J,(x)-iN,(x) v阶贝塞耳方程的通解又可以写作 y(x)=C1H(x)+C2H(2(x) (5)第一类柱函数:贝塞耳函数 第二类柱函数:诺依曼函数 第三类柱函数:汉克尔函数
(4) 第一种和第二种汉克尔函数 = − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) (1) H x J x iN x H x J x iN x 阶贝塞耳方程的通解又可以写作 ( ) ( ) ( ) (2) 2 (1) 1 y x C H x C H x = + (5) 第一类柱函数：贝塞耳函数 第二类柱函数：诺依曼函数 第三类柱函数：汉克尔函数
-J5图 0.8 0.4 0.2 2 6 10 0.2 0.4
2 4 6 8 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 J0 − J5 图
3.x>0和x>∞的行为 需专门计算 x→>0 0 N→>-∞,N,→>±o(v≠0) X→0 /4) (x-W-x/4) 都有限! cos(x-VI-/4) sin(x-VT-/4)
3. x →0 和 x → 的行为 x →0 1, 0 . J0 → J → J− → , .( 0) N0 → − N → x → 需专门计算 (1) 2 ( / 4) − − i x e x H (2) 2 ( / 4) − − − i x e x H cos( / 4) 2 x − − x J sin( / 4) 2 x − − x N 都有限！
4.递推公式 dJ,(x)、d 2k 2k 2k dx dx k=0 k!r(v+k+1)2 k!r(v+k+1)2 k=l+1 ∑ l+1 +2+12+1 =0 (+1)!r(v+l+2)2 ()+1+21x+21=-21(x) l!(v+1++1)2 x dx 对一v、m诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。写作2(x) d rz,(x Z+1(x) Z-1Z./x=-Z Z-Z=2Z x [x"z,(x)=x"z(x)2+1n/x=2 Z-21z,/x+Z1=0
4. 递推公式 k k k k x dx k k d x J x dx d 2 2 0 ) 2 1 ( ! ( 1) 1 ) ( 1) ( ) ( + = + + = − 2 2 1 1 ) 2 1 ( ! ( 1) 2 ( 1) + − = + + = − k k k k x k k k 2 1 2 1 0 1 ) 2 1 ( ( 1)! ( 2) 1 ( 1) + + + = + + + + + = − l l l l x l l l k = l +1 l l l l x x l l 1 2 1 2 0 ) 2 1 ( ! ( 1 1) 1 ( 1) 1 + + + + = + + + = − − x J (x) +1 = − [ ( )] ( ) 1 x J x x J x dx d = − 对 − 、m 诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。 写作 Z (x) x Z x x Z x dx d ( ) ] ( ) [ +1 = − [ ( )] ( ) 1 x Z x x Z x dx d = − 1 ' / − = −Z + Z Z x 1 ' / + = Z − Z Z x 2 ' Z −1 − Z +1 = Z Z +1 − 2Z / x + Z −1 = 0
5虚宗量贝塞耳方程 v阶虚宗量贝塞耳方程 dr dR (x2+v2)R=0 22 92 r dR 2+(2-v)R=0 ds ds v+2k v+2k 2k +2k k!r(v+k+1)2 k!r(v+k+1)2 定义: 2k (x)=1 k=0 k!r(v+k+1)2 J,()=i ∑ k!r(v+k+1) 21-(x)=J-(a)=∑ k=6k!r(+k+1)2 通解: (x)=C1/1(x)+C22(x)
5.虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + − x + R = dx dR x dx d R x = ix ( ) 0 2 2 2 2 2 + + − R = d dR d d R k k k k x k k i J 2 2 0 ) 2 ( ! ( 1) ( ) ( 1) + + = + + = − k k k x k k i i 2 2 0 ) 2 ( ! ( 1) + + = + + = k k x k k I x i J ix 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( ) + = − + + = = 定义： k k x k k J i 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) − + = − − + + = k k x k k I x i J ix 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( ) + = − − + + = = 通解： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x =C I x +C I x
m阶虚宗量贝塞耳方程 dr dR 2)R=0 n(x)=rmJn(x)=∑ k=k!r(v+k+1)2 Im(x)=i _m(ix=i(1)" m(ix)=i G1"i"(x)=l 另一个独立解需要另外研究 x→0 0→>1,m→>0 x>∞l →)o 010,Jm>0 图
m 阶虚宗量贝塞耳方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + − m R = d dR d d R m k k m m m x k k I x i J ix 2 0 ) 2 ( ! ( 1) 1 ( ) ( ) + = − + + = = I (x) i J (ix) i ( 1) J (ix) i ( 1) i I (x) I (x) m m m m m m m m m m −m = − = − = − = 另一个独立解需要另外研究。 x →0 1, 0. I 0 → I m → x → , . I 0 I m → x = a 0 , 0. I 0 I m 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 6 I − I 图
11.2贝塞耳方程 描写沿P的变化,边界条件确定在柱面上 4,y, 1.本征值问题 m已定,须定4n dr 1 dR +( )R=0 ao oao dr 1 dR (1--2)R=0 dr dR a12+x2+(x2-m2)R=0 R(p)=Jm,(x)=Jup)
11.2 贝塞耳方程 描写沿 的变化，边界条件确定在柱面上。 = a ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − m R = dx dR x dx d R x () ( ) ( ) m m R = J x = J (x, y,z) r x y z z h ( ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = m d dR d d R x = (1 ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = x m dx dR dx x d R 1. 本征值问题 m 已定，须定 n