《数学物理方程》第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.1 数学物理方程的导出 7.2 定解条件

第二篇数学物理方程 第七章数学物理方程的定解问题 7.1数学物理方程的导出 、基本思路 1.目标:建立描述物理过程的微分方程。 2.操作:物理过程由物理量的变化描述→选取物理量: 物理量的微分表示它的变化; 物理过程服从物理规则(牛顿定律,库伦定律等) →建立微分方程 几种基本的方程 1.均匀弦的微小橫振动 u(xt y(x,t)=u(x, t) y 变化 xx+△x y(x+△x,t+△)=l(x+△x,t+△t) A.弦的横振动 l(x+△x,t+△)

第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.1 数学物理方程的导出 一、基本思路 1.目标：建立描述物理过程的微分方程。 2.操作：物理过程由物理量的变化描述→选取物理量， 物理量的微分表示它的变化； 物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定律等） →建立微分方程。 二、几种基本的方程 1.均匀弦的微小横振动 x x u(x,t) y y(x,t) = u(x,t) x+x u(x + x,t + t)  变化 y(x + x,t + t) = u(x + x,t + t) A.弦的横振动

T B无穷小的一段弦B △a C受力分析和运动方程 u(x 弦的原长As=△x 现长△s=√(△x)2+(△)2=△x 弦长的变化产生回到原位置的张力 沿-方向,这一段弦不出现平移 T cOSa-T, COSa=0 弦长d≈√(dk)2=x,质量密度P,B段的质量为m=x。 沿垂直于x-轴方向 -mv=nu T sin a,-T,sn a,=(pdx )u 小振动:a1→>0,a2→>0,c0sa1→>1,cosa2→>1 sino、toar S,→)tan,= xx+△x

u(x) x 0 A B C x u(x) x+x u +u T1 1 T2 2 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 弦的原长 s = x 现长 s = x + u = x 2 2 ' ( ) ( ) 弦长的变化产生回到原位置的张力 沿x-方向，这一段弦不出现平移 T2 cos2 −T1 cos1 = 0 弦长 ds  (dx) 2 = dx ，质量密度  ，B段的质量为 m = dx 。 沿垂直于x-轴方向 T T dx utt sin sin ( ) 2 2 − 1 1 =  mytt mutt dt d y f = m = = 2 2 小振动： 0, 0,cos 1,cos 1. 1 → 2 → 1 → 2 → x ux x x u =   sin 1 → tan1 = 2 → 2 == ux x+x sin tan

T-T,=0 x x+d xx T xx+dx 71lk=( 0 波动方程 0 a2=T/p波速 tt D受迫振动 在上式推导过程中,出现的力是弦内的张力,外力为零。 在受到与弦垂直方向的周期力的作用时,弦运动为受迫振动 设单位长度上弦受力F(x,1),则dx受力为f(x,1)=F(x,1)/p Tuurlxdr-Iusl+F(, t dx=(pdx)ur 最后得受迫振动方程 u -a'u=f(x,t

T2 −T1 = 0 T ux x dx Tux x dx utt ( ) 2 + − 1 =  tt x x dx x x u dx u u T =  + − Tuxx − utt = 0 /  2 0 a = T 2 波动方程。 utt − a uxx = 波速 D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。 在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 F(x,t) ，则 dx 受力为 f (x,t) = F(x,t)/  。 x x dx x x dx dx ut t T u Tu F(x,t) ( ) 2 + − 1 + =  最后得受迫振动方程 ( , ) 2 u a u f x t tt − xx =

2均匀杆的纵振动 Y:杨氏模量, A杆的弹性力学基本力学方程:胡克定律 单位面积上的应力。 杆中选L=dx长一段时刻t,x一端位移u x+dx一端位移u+du L 杆的伸长dL=(u+d)-=d f=yS du _YSux B运动方程 当取更长的dx,两端的相对伸长和 xtd 应力将不同,杆受力 f=fx+dr-fl=YSur+dr -YSu, =YSudx 又,牛顿定律:f=p(Sd 即 a2u=0 为波速

2.均匀杆的纵振动 A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律 L S dL f  L dL f = YS Y：杨氏模量， 单位面积上的应力。 B.运动方程 x x x + dx 杆中选 L=dx 长一段 时刻t，x 一端位移 u， x+dx 一端位移 u+du。 u u + dx dL = (u + du) −u = duYSux dx du f = YS = 杆的伸长 当取更长的dx，两端的相对伸长和 应力将不同，杆受力 f f f YSu YSu YSu dx = x+dx − x = x+dx − x = xx 又，牛顿定律： Sdx utt f = ( ) 即 0 2 utt − a uxx = /  2 a = Y 为波速

补充连续性方程 连续分布的某种物理量,如介质:建立座标 密度:单位容积中物理量的多少 dx,y+dy, z+dz) u(x,y, =,t) 流强度:单位时间通过单位面积 的该物理量(v为流速) +单位时间沿x方向净流入量 ==十 dy (x, y, 2) qlx+dr-qlx)dydz 单位时间净流入量等于由密度增加的量 dxdydz 者相等得连续性方程 dxdydz=dxdydz +-(n.)=0 表示物质的总量守恒

补充 连续性方程 连续分布的某种物理量，如介质：建立座标 x y z (x, y,z) (x + dx, y + dy,z + dz) dx dy dz 密度：单位容积中物理量的多少 u(x, y,z,t) 流强度：单位时间通过单位面积 的该物理量（v 为流速） q uv   = 单位时间沿 x- 方向净流入量 x q  q x+dx  dxdydz x q q q dydz x dx x   = −( + − ) = − 单位时间净流入量等于由密度增加的量 dxdydz t u   = 二者相等得连续性方程 dxdydz t u dxdydz x q   =   − ( ) = 0   +   uvx t x u 表示物质的总量守恒

3流体力学与声学方程 A连续介质性质:当振动在液体和气体中传播时,液体和气体就成为传播振动 的连续介质。在其中取一个小的立方体,可以定义介质在此 的密度ρ,速度ν和压强P。振动引起密度的疏密变化。 例如,在静止的介质中,介质的速度为零,并且有压强P6和密度P。 当振动出现时,介质中各处有介质的振动速度ⅴ,振动的传播速度一声速 显然,V<声速,并且设密度的相对变化s为 -P0 欧拉方程(流体动力学方程) v+(ν·V)ν Vp+ 连续性方程 +V(pv)=0 物态方程 p=f(p) B.拉普拉斯假定声传播为绝热过程: 过程方程 pp= poPo

3.流体力学与声学方程 A.连续介质性质： 当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动 的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此 的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。 例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度 。 当振动出现时，介质中各处有介质的振动速度 v ，振动的传播速度－声速； 显然， v<<声速，并且设密度的相对变化s 为 P0 0 0 0   −  s = B.拉普拉斯假定 欧拉方程（流体动力学方程） v v v p f t     +  = −  +  1 ( ) 连续性方程 + ( ) = 0   v t    物态方程 声传播为绝热过程：     − − p = p0 0 p = f () 过程方程

C.方程s,V小量f=0 P p+V(m)≈P+PV下=0 S,+Vi=0 pp=p0p07→p=p0()=p0(1+s)≈p0(1+y) Vp p=po(+rs V s+V=0→s+avs=0

C.方程 s,v 小量,f=0 vt = − p 0 1   0 t t s = t +( v)  t + 0v = 0       st +v = 0  ( ) (1 ) (1 ) 0 0 0 0 0 0 p p p p p s p s         =  = = +  + − − vt = − p 0 1   (1 ) 0 p = p +s  s p vt = −  0 0    s p vt = −  0 0    st +v = 0   0 2 2 stt + a  s = 0 2 0  p a =

4.真空电磁波方程 VD=p, 电磁学的麦克斯韦方程(微分形式) V×E V·B=0 真空时:=0.7=0A,D=6EVx厅=7+D E=0 V×Hn=E0Em V×E V×E t 2 V×H V×V×E E.=0 01t V×(A×B)=(B.V)A-B(V.A)+A(V.B)-(AV)B A→VB→EVx(×E)=(EV-E(VV)+V(VE)-(V)E=-(VV)E E-a(vV)E=o H=0

4. 真空电磁波方程 电磁学的麦克斯韦方程（微分形式） t t H j D B E B D         = +  =  = −  = 0, , , 真空时： j B H D E      0 0  = 0, = 0, =  , =  t t H E H E H E       0 0 0, , 0,    =  =  = −  = Ht Ett    =  0 E + 0 0 Ett = 0     , E 0 Ht    = −  A B B A B A A B A B          (  ) = ( ) − ( ) + ( ) − ( ) E E E E E E       ( ) = ( ) − () + ( ) − () = −() ( ) 0 2 Ett −a  E =   ( ) 0 2 Htt −a  H =   A B E    → , →

5.扩散方程 A.扩散现象 系统的浓度u∞x)不均匀时,将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移,叫扩散。 B菲克定律 浓度梯度 u(X u(x +dx) 扩散流强度:单位时间通过单位面积的物质的量 9=-DV C.扩散方程连续性方程 A +(v2)=0 带入菲克定律 Ou aq. Ou a au (uv ) (D)=0 at at a D均匀 0 三维 (D-aInOu 0 2(VV)u=0

5. 扩散方程 A. 扩散现象 系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。 B.菲克定律 dx x u(x) u(x + dx) 浓度梯度： u 扩散流强度：单位时间通过单位面积的物质的量 q  q = −Du  ( ) = 0   +   uvx t x u q uv   = C. 扩散方程 ( ) ( ) = 0     −   =   +   =   +   x u D t x u x q t u uv t x u x x D 均匀 0 2 2 2 =   −   x u a t u 三维 ( ) ( ) ( ) = 0     −     −     −   z u D y z u D x y u D t x u ( ) 0 2 −  =   a u t u a = D 2 连续性方程 带入菲克定律

6热传导方程 热传导:热量从温度高的地方到温度低的地方转移。 热力学问题 热力学第一定律:dQ+dW=dU Q热力学过程交换的热量 W热力学过程外界对系统做的功 U系统的内能 热传导过程dW=0,dO=dU 系统传导的热量就是内能的改变 l(x,y,z,1)系统的温度 能量守恒,满足连续性方程 热流强度q:单位时间通过单位面积的热量 傅立叶定律 q=-kVk热传导系数

6.热传导方程 热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。 1 u x u2 q  热力学问题。 热力学第一定律： dQ + dW = dU U W Q 热力学过程交换的热量 热力学过程外界对系统做的功 系统的内能 热传导过程 dW=0， dQ = dU 系统传导的热量就是内能的改变。 能量守恒，满足连续性方程 u(x, y,z,t) 系统的温度 q  热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。 傅立叶定律： q = −ku  k 热传导系数