《数学物理方程》第十章 球函数 10.1 轴对称球函数 10.2 连带勒让德函数 10.3 球函数

△=0 Or arrising o(sing ou 1 au 10。,0a a8 rsin 0 ao 偏微分方程→常微分方程组→广义傅立叶级数 分离变量 本征值问题 勒让德多项式 贝塞耳函数 (特殊函数) 特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式; 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳 超几何,汇合超几何等函数

u  0 0 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2                    u r u r r u r r r 偏微分方程  常微分方程组   分离变量  本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数） 特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，汇合超几何等函数

第十章球函数 10.1轴对称球函 数 (1-x2),2-2xx1+(+1)=0 一、勒让德多项式 x=±1有限1=0,1,2, 1代数表示 k(k+1)-l(+1)(k-l)k+l+1) k+2 (k+2)(k+1)(k+2)(k+1) 设最后一个不为零点系数有k=l 则对k=1-242≈4(1+)2a=1+1)(2/) -2(21-1) 2(2/-1)2()

10.1 轴对称球函数 第十章 球函数 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2         l l dx d x dx d x 一、勒让德多项式 x  1 有限 l  0,1,2, k ak k k k l k l k k k k l l a ( 2)( 1) ( )( 1) ( 2)( 1) ( 1) ( 1) 2              设最后一个不为零点系数有 k  l l al l l l a 2(2 1) ( 1) 2    k  l  2   2 2 ( !) (2 )! 2(2 1) ( 1) l l l l l l     1.代数表示 则对

适当乘本征函 (2D)! 数以常数使得 =(y(2/=2) 2(l-1)(-2) 2l-2k 1-2K k!2(l-k)!(l-2k) /2]:小于、等于 的最大整数。 勒让德多项式: [/2 P(x)=∑(-1) (27-2k)! k!2(-k)!(-2k) P(x)=x=cos 8 P2+(0)=0总有x。 P2(x)=(3x2-1)=(3cos26+1) (2k)! k!2-k 1(x)=(5x-3x)=(5c0s36+3cos6) 8 唯一不含ⅹ的项l=2k

( ) 1 P0 x  P1(x)  x  cos (3cos 1) 4 1 (3 1) 2 1 ( ) 2 2 P2 x  x      适当乘本征函 数以常数使得 2 ( 1)!( 2)! (2 2)! ( 1)      l l l l l !2 ( )!( 2 )! (2 2 )! ( 1) 2 k l k l k l k a l k l k       l k l l k k l x k l k l k l k P x 2 [ / 2] 0 !2 ( )!( 2 )! (2 2 )! ( ) ( 1)         勒让德多项式： [l / 2] ：小于、等于 l 的最大整数。 (0) 0 P2k1  总有 x 。 !2 ! (2 )! (0) ( 1) 2 2 k k k P k k k   唯一不含 x 的项 l  2k (5cos3 3cos ) 8 1 (5 3 ) 2 1 ( ) 3 P3 x  x  x     2 (2 )! 2 ( !) l l l a l 

0.5 P(x),(-1≤x≤1) P(cos),(0≤6≤x) 0.5

-1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0.5 1 P (x), (1 x 1) l (cos ), (0     ) Pl

2.微分表示(罗德里格斯公式) 27! dx 证:1 (x2-1)=n∑(-1 2(-k) ∑(-1) 2(1-k) (-k)!k! k=0 2(1-k)k (}k) 27 dx dx k=0 !(1-k)!k ∑(-1) 21-2k)(2/-2k-1)…(-2k+1 2(-k)!k! ∑(-1) (2-2k)! 1-2k k=0 2(1-k) x A!(l-2k!

2. 微分表示（罗德里格斯公式） l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2   证： 2( ) 0 2 ( )! ! ! ( 1) 2 ! 1 ( 1) 2 ! 1 l k l k k l l l x l k k l l x l       l k l k l k x l k k l k l k 2 0 2 ( )! !( 2 !) (2 2 )! ( 1)        ＃ 2( ) 0 2 ( )! ! 1 ( 1) l k l k l k x l k k      2( ) 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 ! 2 ( )! ! l l l l k l k l l l l k d d x x l dx dx l k k        2 0 (2 2 )(2 2 1) ( 2 1) ( 1) 2 ( )! ! l k l k l k l k l k l k x l k k            

3积分表示(施列夫积分) 由科西公式 ∠ P(x) 24! dx 1)-2n dz 27!c(2-x) C绕z=X点。 设半径为√x2-1 C上 e dz e dz [(x+√x 2 Ti 21! Jc(2-x)+I le dy 2 iy\/+ e x+2NV2-14+(-2-y-by 2ni o 1(-x2+2x√x2-le+(x2-1)e 12y 2丌 2√x2-le

3.积分表示（施列夫积分）        C l l l l l l l l dz z x z i l x dx d l P x 1 2 2 ( ) ( 1) 2 ! 1 2 1 ( 1) 2 ! 1 ( )  由科西公式 C 绕 z=x 点。 设半径为 1 2 x  C 上 i z x x 1e 2      dz i x e d i 1 2          i x e d x e x x e i l dz z x z i l i i l i l l C l l l 1 ( 1 ) [( 1 ) 1] 2 ! 1 2 1 ( ) ( 1) 2 ! 1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2                    i x e d x e x x x e x e i l i i i i ] 1 2 1 2 1 ( 1) 1 [ 2 1 2 0 2 2 2 2 2                d x e x x x e x e l i i i         0 2 2 2 2 2 ] 2 1 2 1 ( 1) 1 [ 2 1

Jix+vx2-1(e+e")Idy Ix+iv1-x cosy]dy P() P(-1)=(-1)

(1) 1 P1  l P( 1) ( 1) 1         x x e e d i i l       0 2 ( )] 2 1 [ 1 1     x i x d l [ 1 cos ] 1 2 0    

P(x) x+i√1-x2 cosy]' dy x=cos 0 P(x) Icos 0+isin 0 cosy'dy 个公式 P(x)=_lcos 0+isin 0 cos ' dy =_Jo [cos 0+sin2 8 cos y]"dy cos 0+sindy 0 即 P(x)≤1 二、正交关系和模 1正交关系 P(x)=1 P(xP(xdx=0

    P x x i x d l l [ 1 cos ] 1 ( ) 2 0     x  cos       P x i d l l [cos sin cos ] 1 ( ) 0          P x i d l l    0 cos sin cos 1 ( )       d l    0 2 2 2 / 2 [cos sin cos ] 1      d l    0 2 2 / 2 [cos sin ] 1 1 1 0       d 即 P (x) 1 l 二、 正交关系和模 (x) 1 ( ) ( ) 0 1 1    P x P x dx k l 1. 正交关系 一个公式

2.模 l-1 N2=J[P(x)]dx 4n(x2-1) dx dx dx (x2-1) dx dx l-1 )1-- r d-(x2-1y' dx 第一项为零,即 l-1 2 )(-1)dx(x2-1) 进行次分步积分后 2 I N 只有最高次幂才不为零,故

2. 模 N P x dx l l 2 1 1 2 [ ( )]    ) ( 1) [ ( 1) ] 2 ! 1 ( 2 1 1 2 1 1 2 l l l l l l l x dx d dx d x dx d dx l       ) { ( 1) [ ( 1) ] ( 1) [ ( 1) ]} 2 ! 1 ( 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 l l l l l l l l l l l l l x dx d dx d x dx d x dx dx d x dx d l              第一项为零，即 ) ( 1) ( 1) [ ( 1) ] 2 ! 1 ( 2 2 1 1 1 1 2 2 1 l l l l l l l l x dx d dx d x dx d dx l N        进行 l 次分步积分后 l l l l l l l x dx d dx x l N ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ! 1 ( 2 2 2 2 1 1 2 2       只有最高次幂才不为零，故

再逐次进行分步积分,得 21+1 即 2 广义傅立叶级数 定义在区间[-1的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数 f(x)=∑fP(x) 展开系数为 21+1 f 2 ∫f(x)P(x) 或区间[O,z]的函数f()展开为 f(O)=∑fP(Cos), =0 系数为 21+ f(Op(cose)sin 0de

再逐次进行分步积分，得 2 1 2 2   l Nl 即 2 1 2   l Nl 三、广义傅立叶级数 定义在区间 [1,1]的函数 f (x) 可以展开为广义傅立叶级数     0 ( ) ( ), l l l f x f P x 展开系数为 f x P x dx l f l l ( ) ( ) 2 2 1 1 1     或区间 [0, ] 的函数 f ( ) 展开为     0 ( ) (cos ), l lPl f  f  系数为      f P d l f l l ( ) (cos )sin 2 2 1 0   