§4.1不定积分的概念与性质 、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 不定积分的性质 自贝
§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、原函数与不定积分的概念 今原函数的概念 如果在区间上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对 任一x∈,都有 F(x)=x)pidF(x)=f(x)dx 那么函数F(x)就称为(x)(或(x)dx)在区间/上的原函数 原函数举例 因为(sinx)=cosx,所以sinx是cosx的原函数 因为(x) 所以√x是一的原函数 2√x 2√x 提问:cosx和还有其它原函数吗? 2 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、原函数与不定积分的概念 ❖原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)=cos x , 所以sin x是cos x的原函数. 提问： 因为 x x 2 1 ( ) = , 所以 x 是 2 x 因为 1 的原函数. x x 2 1 ( ) = , 所以 x 是 2 x 1 的原函数. cos x 和 2 x 1 还有其它原函数吗？ 下页
今原函数存在定理 如果函数(x)在区间/上连续,那么在区间上存在可 导函数F(x),使对任一x∈I都有 F'(x)=(x) 简单地说就是:连续函数一定有原函数 两点说明: 1.如果函数x)在区间上有原函数F(x),那么x)就有 无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数,其中C是任意 常数 2.函数(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φx)和F(x)都是f(x)的原函数,则 ①(x)F(x)=C(C为某个常数 上页返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有 无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意 常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)−F(x)=C (C为某个常数). 下页
今不定积分的概念 在区间上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx)在区间/上的不定积分,记作 ∫f(x)dk 不定积分中各部分的名称: ∫---称为积分号, f(x)--称为被积函数, f(x)dJ 称为被积表达式 称为积分变量 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 不定积分中各部分的名称： ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. ❖不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 f (x)dx . 下页
今不定积分的概念 在区间上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx)在区间/上的不定积分,记作 ∫f(x)dk 根据定义,如果F(x)是(x)在区间/上的一个原函数,那么 F(x)+C就是f(x)的不定积分,即 ∫f(x)k=F(x)+C 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 ❖不定积分的概念 f (x)dx . f (x)dx = F(x)+C . 下页
如果F(x)是(x)的一个原函数,则∫f(x)bx=F()+C 例1因为sinx是cosx的原函数,所以 Icosxdx=sinx+C 因为√x是的原函数,所以 2 ax=√x+C 2√ 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx = F(x)+C . cosxdx =sin x+C . 下页 因为 x 是 2 x 1 的原函数, 所以 dx x C x = + 2 1
如果F(x)是(x)的一个原函数,则∫f(x)bx=F()+C 例2求函数f(x)=的不定积分 X 解当x0时,(mx)=1, X ∫1a=lnx+C(x0) 当x0时,[(-x)y=1.(-1)=1 X ∫a=m(=)+C(x0 合并上面两式,得到 dx=lnx|+C(x≠0) 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解：当 x>0 时, (ln x) x 1 = , 例 2. 求函数 x f x 1 例2 ( )= 的不定积分. 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx = F(x)+C . dx x C x = + ln 1 (x>0) 当 x<0 时, [ln(−x)] x x 1 ( 1) 1 − = − = , dx x C x = − + ln( ) 1 (x<0). dx x C x = + ln| | 1 (x0). 下页
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为y=f(x),则曲线上任一点(x,y 处的切线斜率为 y=f(x)=2x, 即(x)是2x的一个原函数.因为 2xdx=x+C 故必有某个常数C使fx)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C 因所求曲线通过点(1,2),故 2=1+C.C=1. 于是所求曲线方程为y=x2+1 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 y=f (x)=2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x 2+1. 因为 xdx = x +C 2 2 , 下页
积分曲线 函数(x)的原函数的图形称为fx)的积分曲线 函数(x)的积分曲线也有无限 y/v=x2+C2 多.函数x)的不定积分表示(x)的 簇积分曲线,而x)正是积分曲 线的斜率 y=x+Cl 2x的积分曲线 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数f(x)的积分曲线也有无限 多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率. •积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 下页 2x的积分曲线
今微分与积分的关系 从不定积分的定义可知 a可(x)=f(x,或可(xN=() 又由于F(x)是F(x)的原函数,所以 「F(x)x=F(x)+C,或记作∫aF(x=F(x)+C 由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的 首页返回下页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖微分与积分的关系 从不定积分的定义可知 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的. [ f (x)dx]= f (x) dx d , 或 d[ f (x)dx]= f (x)dx [ f (x)dx]= f (x) dx d , 或 d[ f (x)dx]= f (x)dx F(x)dx = F(x)+C , 或记作 dF(x)= F(x)+C . F(x)dx = F(x)+C , 或记作 dF(x)= F(x)+C . 首页