§4.4有理函数的积分 、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 自贝
§4.4 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃
有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: P( C0x+a1-x-1 +…+an1x+a (x) box+b,xm-++bm-jx+ nm时,称这有理函数 是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 x3+x+1x(x2+1)+ x2+1 x2+1 x2+1 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、有理函数的积分 •有理函数的形式 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数 是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + ++ + + ++ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) , 下页 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x
分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例1求x+3 解 dx x+3 6 5 dx= )ax 5x+6 (x-2)(x-3) x-3x-2 dx dx=6Inx-3-5Inx-2+C xX x+ A,B_(A+B)x+(-2A-3B) (x-2)x-3)x-3x-2(x-2)(x-3) A+B=1,-2A-3B=3,.A=6,B=-5. 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例 例 1 1 求 − + + dx x x x 5 6 3 2 . 解 − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 ( − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 ( − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 ( •分母可因式分解的真分式的不定积分 下页 − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. A+B=1, −2A−3B=3, ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , A=6, B=−5. ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x
分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例2求(在 解 ldx x(x xx-1(x-1) =r-dx-fIrdx+f dx=lnlxl-In[x-1+C x -x+x x(x-1)2x(x-1)2x(x-1)(x-1)2 x+x x(x-1) 1)2xx-1(x-1) 页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 3 2 求 − dx x x 2 ( 1) 1 . 解 − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 解 − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 下页 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. •分母可因式分解的真分式的不定积分 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x . − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| . − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| . 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x
分母是二次质因式的真分式的不定积分 例3求,3 2 x2+2x+3 解 2 dx 2x+2 x2+2x+3 2x2+2x+3x2+2x+3 1r2x+2 x-3 x 2Jx2+2x+3 x2+2x+3 1rd(x2+2x+3 X+ x2+2x+3(x+12+(√2)2 =n(x2+2x4 arctan+人1 +0 2 (2x+2)-3 x-2 x2+2x+3x2+2x+32x2+2x+3x2+2x+3 自 上页返回下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 2 3 求 + + − dx x x x 2 3 2 2 . 解 + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = dx x x dx x x x + + − + + + = 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 + + + − + + + + = 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3 2 3 ( 2 3) 2 1 x d x x x d x x C x x x + + = + + − 2 1 arctan 2 3 ln( 2 3) 2 1 2 . 解 + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = •分母是二次质因式的真分式的不定积分 首页 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x
二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数 °用于三角函数有理式积分的变量代换 设=1n2,则有 2 tan 2 tan sin x=2sin -cos 2 1+tan 2 x 1+u sec 1-tan 2 COSX=COS 2x-sin2 x 2x1+ sec 首页上页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数. •用于三角函数有理式积分的变量代换 •三角函数有理式的积分 设 2 tan x u= , 则有 下页 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − = . 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − = . 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − =
令l=tanx,则sinx 2 COSX- 2 1+ 1+ 例4求」 1+sinx x sin x(1+cosx) 解令=tanx,则 2 I+sinx (1+12) dk=「 1+l 2 sin x(+cosx) 2 1-2、1+l (1+ 1+121+l =(+2+-)dhs ( 22 +2+nl)+C 提示: x=2arctanu, dx 2 1+l 首页页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . 例 例 4 4 求 + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin . 解 令 2 tan x u= , 则 x=2arctanu , du u dx 2 1 2 + = . + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 x=2arctanu , du u dx 2 1 2 + = . + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 下页
令l=tanx,则sinx 2 COSX- 2 1+ 1+ 例4求」 1+sinx x sin x(1+cosx) 解令=tanx,则 2 1+sinx dx= 1+2 2 sinx(+cosx) 2 1+27 1-2、1+l 1+ 2J(24+2+1)dv 22 +2+nl)+C tan2+tan +In tan l+C 42 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . 例 例 4 4 求 + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin . 解 令 2 tan x u= , 则 + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 C x x x = + + |+ 2 ln|tan 2 1 2 tan 2 tan 4 1 2 . 下页
令l=tanx,则sinx 2 COSX- 2 1+ 1+ 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化 为有理函数的积分.因为这种代换不一定是最简捷的代换 请看如下积分 COSX dx 1+sinx I+sIn/d(1+sin x)=In(l+sin x)+C 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化 为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . 下页
简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去 例5求∫ 解设、x-1=,即x=n2+1,则 dx 2udu=2[-du L2+1 2+1 )du=2(u-arctanu)+C 1+l =2(x-1-arctanvx-1)+C 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解 •简单无理函数的积分 例 例 5 5 求 − dx x x 1 . 解 设 x−1=u , 即 1 2 x=u + , 则 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u C u = − + + = − ) 2( arctan ) 1 1 2 (1 2 =2( x−1−arctan x−1)+C . 解 设 x−1=u , 即 1 2 x=u + , 则 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u C u = − + + = − ) 2( arctan ) 1 1 2 (1 2 下页