《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.7）函数的微分

§2.7函数的微分 、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 自贝

一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 §2.7 函数的微分 首页 上页 返回 下页 结束 铃 四、微分在近似计算中的应用

、微分的定义 今引例 块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0+△x, 考查此薄片的面积A的改变情况. 因为A=x2,所以金属片面积 Ax(△x)2 的改变量为 xn△x △x △A=(x0+△x)2-(x0)2 2x0△x+(△x)2 当△x->0时,(△x)2=O(△x) xa△x|x0 △A的主要部分是Ax的线性函数 A=Co 2x0Ax,2x△x是△A的近似值 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、微分的定义 ❖引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0+Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A=x 2  所以金属片面积 的改变量为 DA=(x0+Dx) 2−(x0 ) 2 =2x0Dx+(Dx) 2 . A=x0 2 x0 x0 Dx x Dx 0Dx x0Dx (Dx) 2 当Dx→0时 (Dx) 2=o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数 2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值. 下页

今微分的定义 设函数y=(x)在某区间内有定义,x0及x+△x在这区间 内,如果函数的增量 △y=f(x0+△x)f(x0) 可表示为 △y=A△x+O(△x) 其中A是不依赖于△x的常数,O(△x)是比Ax高阶的无穷小, 那么称函数y=(x)在点x是可微的,而AAx叫做函数y=f(x) 在点x相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即 dy=A△x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数y=f(x)在某区间内有定义 x0及x0+Dx在这区间 内 如果函数的增量 Dy=f(x0+Dx)−f(x0 ) 可表示为 Dy=ADx+o(Dx) 其中A是不依赖于Dx的常数 o(Dx)是比Dx高阶的无穷小 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的 而ADx叫做函数y=f(x) 在点x0相应于自变量增量Dx的微分 记作dy 即 dy=ADx. ❖微分的定义 下页

y=(x)在点x可微今Ay=A△x+o(△x).ay=AAx 可微与可导的关系 函数f(x)在点xo可微函数(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dy=f"(xo)△x 这是因为,一方面 △y=Ax+(△x)==440()lmA=f(x)=A △x △x-)0△X 另一方面 △ m=f(x0)→=f(x0)+a→△y=f(x0)△x+aAx >0△x △x 其中a>0(当△x>0),且A=(xo)是常数,aAx=o(△x 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数f(x)在点x0可微  函数f(x)在点x0可导. 函数在点x0的微分一定是 dy=f (x0 )Dx. •可微与可导的关系 y=f(x)在点x0可微Dy=ADx+o(Dx). dy=ADx. 这是因为 一方面 另一方面 其中a→0(当Dx→0) 且A=f(x0 )是常数 aDx =o(Dx). f x A x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 . f x y f x x x x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 . f x A x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A. x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 . f x y f x x x x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 f x y f x x x . x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 . 下页

y=(x)在点x可微今Ay=A△x+o(△x).ay=AAx 可微与可导的关系 函数f(x)在点xo可微函数(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dy=f"(xo)△x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记 作dy或d(x),即 小=f'(x)Ax 例如,dosx=(cosx)△x=sinx△x; de=(ex)△x=ex△x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数y=f(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记 作dy 或 df(x) 即 dy=f (x)Dx. 例如 dcos x=(cos x)Dx =−sin x Dx dex=(e x )Dx=e xDx. 函数f(x)在点x0可微  函数f(x)在点x0可导. 函数在点x0的微分一定是 dy=f (x0 )Dx. y=f(x)在点x0可微Dy=ADx+o(Dx). dy=ADx. 下页 •可微与可导的关系

y=(x)在点x可微今Ay=A△x+o(△x).ay=AAx 例1求函数y=x2在x=1和x=3处的微分 解函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)=1△x=2Ax 函数y=x2在x=3处的微分为 dy=(x2)l=3△x=6△x 例2求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解先求函数在任意点x的微分 dy=(x3)△x=3x2△x 再求函数当x=2,Ax=0.02时的微分, yx=2.Ax=00=3x2 x=2.△x=0.02 3×22×0.02=0.24 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求函数y=x 2在x=1和x=3处的微分. dy=(x 2 )|x=1Dx=2Dx 函数y=x 2在x=3处的微分为 dy=(x 2 )|x=3Dx=6Dx. 例2 求函数 y=x 3当x=2 Dx =0.02时的微分. y=f(x)在点x0可微Dy=ADx+o(Dx). dy=ADx. 解 函数y=x 2在x=1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy=(x 3 )Dx=3x 2Dx. 再求函数当x=2 Dx=0.02时的微分 dy| x=2 Dx=0.02 =32 2 =3x 0.02=0.24. 2 | x=2, Dx=0.02 下页

自变量的微分 因为当y=x时, dy=dx=(x)△x=△x, 所以通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分,记作 dx=△x. 因此,函数y=fx)的微分又可记作 dye(x)dx 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 因为当y=x时 dy=dx=(x)Dx=Dx 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分 记作 dx 即 dx=Dx. 因此 函数y=f(x)的微分又可记作 dy=f (x)dx. •自变量的微分 下页

增量与微分的关系 当f(x0)≠0时,有 △ △ △ Ax>0dyAx>×0f(xo)△xf(x0)Ax>0dx 根据等价无穷小的性质,Ay=y+o(ay) 今结论 在f(x0=0的条件下,以微分df(x)Ax近似代替增 量△y=f(x0+△x)f(x0)时,其误差为o(dy) 因此,当x很小时,有近似等式4d 自贝 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖结论 在f (x0 )0的条件下 以微分dy=f (x0 )Dx近似代替增 量Dy=f(x0+Dx)−f(x0 )时 其误差为o(dy). 因此 当|Dx|很小时 有近似等式Dydy. 当f (x0 )0时 有 根据等价无穷小的性质 Dy=dy+o(dy). •增量与微分的关系 lim 1 ( ) 1 ( ) lim lim 0 0 0 0 0 = D  =  D D = D D → D → D → dx y f x x f x y dy y x x x . 首页

二、微分的几何意义 当x从x变到x0+△x时, Δy是曲线上点的纵坐标的增量; dy是过点(x0,f(xo)的切线上点的纵坐标的增量 当△x很小时,4ydy y=f(o) 比△x小得多 因此,在点M的邻近,+ 我们可以用切线段来近似 ∫(o =(x0)=2a 代替曲线段 Ax =f(x)x+△x 自贝 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、微分的几何意义 当|Dx|很小时 |Dy−dy| 比|Dx|小得多. 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似 代替曲线段. Dy是曲线上点的纵坐标的增量 dy是过点(x0  f(x0 ))的切线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+Dx时 首页

三、基本微分公式与微分运算法贝 1.基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式: (x)′=x-1 d(x)=uxl-ldx (sin x)'=cos x d(sin x )=cos xdx (cosx)′=-sinx d(cos x)=-sin xdx (tan x)'=secx d(tan x)=sec2xdx (cot x)=-cSclx d(cot x)=-csc2xd3 (sec x)'=sec x tan x d(sec x)=sec x tan xdx (csc x)=-cSc x cot x d(csc x)=-cSc x cot xdx (ax)=ar In a d(ar=ar In adx e e=eax 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、基本微分公式与微分运算法则 d(x m )=m x m−1dx d(sin x)=cos xdx d(cos x)=−sin xdx d(tan x)=sec2xdx d(cot x)=−csc2xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=−csc x cot xdx d(a x )=a x ln adx d(e x )=e xdx (x m )=m x m−1 (sin x)=cos x (cos x)=−sin x (tan x)=sec2 x (cot x)=−csc2x (sec x)=sec x tan x (csc x)=−csc x cot x (a x )=a x ln a (e x )=e x 导数公式: 微分公式: 下页 1.基本初等函数的微分公式