第十二章格林函数 12.1泊松方程的格林函数法 定解=通解十边界条件 有源问题 求通解=积分 1.源问题 定解=积分+边界条件 例静电场a.无界空间 (格林函数法) 处静电场 48
第十二章 格林函数 12.1 泊松方程的格林函数法 有源问题 定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分 定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 1. 源问题 例 静电场 ( ') r r r ' r r − ' r 处静电场 0 1 ( ') ( ) ' 4 ' r r dr r r = − a.无界空间
b有界空间 边界上可能出现感应电荷 r处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果 +++++ 计算变成 由p(F)计算感应电荷,然后 p(7) p(") dr+ 48 是否能一次解决
( ') r r r ' r r − ' b.有界空间 +++++++ −−−−−−−−−− 边界上可能出现感应电荷 r 处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成 由 0 1 ( ') ( ') ( ) [ ' '] 4 ' ' g r r r dr dr r r r r = + − − ( ') r 计算感应电荷，然后 是否能一次解决
感应电荷是边界问题 定解=通解十边界条件 2.格林公式 求通解=积分 第一格林公式 区域T,边界∑ 定解=积分+边界条件 (格林函数法) 设()和v(m)在T中具有连续二阶导数 在∑上有连续一阶导数。由高斯定理 T ∫nNr;ds=J∫(Nv) =』yryw+∫ Z△w
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分 定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界 T 设 和 在 T 中具有连续二阶导数， 在 上有连续一阶导数。由高斯定理 u(r) v(r) u v dS ( ) T = u v dV T T = + u vdV u vdV 感应电荷 是边界问题
第二格林公式: 交换l()和v(F): 与上式相减 (uVv-vVu)ds ∫ (△v-v△a)d T 即 on an ∫(△v=△n)d 法向导数
第二格林公式： v u dS v udV v udV T T = + 交换 u(r) 和 ： v(r) 与上式相减 u v v u dS u v v u dV T ( − ) = ( − ) 即 dS u v v u dV n u v n v u T ( ) = ( − ) − n 法向导数
3.边值问题 泊松方程△=f(F) 边界条件 a2+=0(E 卯(2)定义在∑ a=0,B≠0第一类边界条件 a≠0,B=0第二类边界条件 a≠0,B≠0第三类边界条件 泊松方程与第一类边界条件,构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件,构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件,构成第三边值问题
3. 边值问题 泊松方程 u f (r) = 边界条件 [ + ] = () u n u () 定义在 = 0, 0 第一类边界条件 0, = 0 第二类边界条件 0, 0 第三类边界条件 泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
4.泊松方程的基本积分公式 点源泊松方程△v(,)=δ(-元) 单位负电荷在 ∫(2-=△)d 6(-6)奇异,不能化为 面积分。在T中挖掉半 径E,在的小球K。。 小球边界Σ 边界条件无法带入积分之中!
4. 泊松方程的基本积分公式 点源泊松方程 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r = − 单位负电荷在 0 r T 0 r K 0 x y z vfdV u r r dV v u u v dV T T T = − − − ( ) ( ) 0 ( ) 0 r r − 奇异，不能化为 面积分。在 T 中挖掉半 径 ，在 的小球 。 小球边界 。 0 r K 边界条件无法带入积分之中！
⑩o n-△v)d=∫( ou uds an an IS+[(v 24、 O 在T-K。,6(7-)=0 ∫yr T-K v(7)和v()连续。 E→0 yr→∫ 7-K2 T ou ds De ou dg2 ou d92 4丌EOn 4T On a au 0 4丌On
− + − − = dS nv u nu v u u v dV v T K ( ) ( ) − + − = dS nv u nu dS v nv u nu (v ) ( ) 在 T − K ， ( r − r0 ) = 0 。 vfdV T K − = → 0 u ( r ) v ( r ) 和 连续。 v fdV v fdV T K T → − = − d nu dS nu v 2 ) 4 1 ( = − d nu 4 = − d nu 4 nu = − → 0
S=u[ (-,)dS u-rdQ =-l(7 ar 4 4丌 (G)=小VG,)f(F)d ∫vG石)C u(r) Ov(r, r Jas 这样,边界条件进入积分之中!泊松方程的基本积分公式。 解v(F)在区域T中一点的值v(G)通过上面积分,由源项对区域的 积分(右第一项),和边值得积分(右第二项)给出
− = − dS r r dS u n v u )] 4 1 [ ( = − r d r u 2 2 1 4 1 ( ) 0 = −u r ] . ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 − − = − dS n v r r u r n u r v r r u r v r r f r dV T 这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的 积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。 0 r u(r) ( ) 0 u r
格林函数: 将冲量定理法扩展到空间坐标 (x:)=。J=0)(x=500-)ddr 对两端固定的弦 G|x0=G|x=0 G -a'G=d(x-58(t-t 问题变成 =0 G.-aG=0 Gl=x0=0,G|x=(x-5) (x,t)= f(5,r)G(x,t2)d5. 0 l(G)=川v(,)f(F)l ou( v(F,) u(r av(r, olds
格林函数： 将冲量定理法扩展到空间坐标 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) . t l f x t f x t d d = = = − − 对两端固定的弦 2 ( ) ( ); G a G x t tt xx − = − − 0 0; G G x x l = = = = 0 0 0. G G t t t = = = = 2 0 G a G tt xx − = 0 0; G G x x l = = = = 0 0 0, ( ). G G x t t t = + = + = = − 问题变成 0 0 ( , ) ( , ) ( , , ) . t l u x t f G x t d d = = = ] . ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 − − = − dS n v r r u r n u r v r r u r v r r f r dV T
5.边值问题的格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。 第一边值问题(狄里希利问题)2=9(2 △v(,70 v(F2)=G(,6) 第一边值问 题格林函数 l(0) ∫(G+』w rI ds an 第三边值问题 △v(F,)=δ(7-0) →v(F2,6)=G(F,石) 第三边值问 题格林函数 [a+ Bv2=0
5. 边值问题的格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r = − v(r,r0 ) = 0 ( , ) ( , ) 0 0 v r r G r r = 第一边值问题(狄里希利问题) = () u . ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 = + dS n G r r u r G r r f r dV r T 第三边值问题 [ + ] = () u n u 第一边值问 题格林函数 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r = − ( , ) ( , ) 0 0 v r r G r r = 第三边值问 题格林函数 [ + ] = 0 v n v
