1.计算积分 I=epcos cos(psin p-no) do=0 其中P是正常 数,n是自然数。 解: e pcos(psino-np epos icos(psin -no)+isin(psin -n) 已 pcos i(psinop-no) pcospptlpsinopo-ingp 被积函数写为Re{p"e"/Pe)y} 积分写为1=pRee~"/(c"yp e I=p"Rel n+1 为
解： I e e d n e i n i = 2 0 Re /( ) [cos( sin ) sin( sin )] cos ( sin ) cos e e e n i n i n = − + − − 被积函数写为 i n i i n n e i n e e e e e e i /( ) cos (sin ) cos sin = = − + − Re{ /( ) } n e i n e e i 积分写为 为 i z = e ] 1 Re[ 1 1 = + = z n z n dz z e i I 1.计算积分 ，其中 是正常 数，n 是自然数。 = − = 2 0 cos I e cos( sin n )d 0
2i 极点在z=0。 dz=2ti(e) 2兀 #同理/= epcose sin( p sin-n)dl=0 0 27设∫(z)=u(x,y)+iv(x,y)是上半平面的解析区 数,且当x→∞时f(x)→0(0≤gz≤π),试证明 ,0) (,y) 十 y 饥八x,y dE
! 2 ( ) ! 1 2 0 ( ) 1 1 n i e n dz i z e z z n z n z = = = = 极点在 z=0。 + ! 2 n I n = ＃ 同理 = − = 2 0 cos I e sin( sin n )d 0
证明:由0≤arg≤丌,复数z在上半平面。 由柯希定理(<R f()ug+[()a 2元i 2 R 7 z在下半平面,故 0 1;f( R rs 2Ti Rs-2 2 二式相减 实轴上 2-2 2 -z)(2 (2-x-i)(5-x+y)(5-x)
证明： CR 0 − R R 由 0 arg z ，复数 z 在上半平面。 由柯希定理 − + − = − CR R R d z f d z f i f z } ( ) ( ) { 2 1 ( ) ( z R) z * 在下半平面，故 − + − = − CR R R d z f d z f i } * ( ) * ( ) { 2 1 0 二式相减 2 2 ( ) 2 ( )( ) 2 ( )( *) * * 1 1 x y iy x iy x iy iy z z z z z z − + = − − − + = − − − = − − 实轴上 −
大圆上 2iv 5-2-2*(2-=)(5-*) R f(=)={ f(2) 2d5 f() dsi 丌-R (2-x)2+y2xR(2-=)(-=) 证明在R→>∞,上式中后一项趋于零 由二>∞,(=)→>0,知=→(=)<M。 f() Rde dc< M M 5-z)(-z) k(5|-2X5|-|+) (R-|=) ZRM 0 (R-1=) f(与) ds 丌(5-x)2+y2z
大圆上 ( )( *) 2 * 1 1 z z iy z z − − = − − − − − + − + = − CR R R d z z f d x y z y f f z } ( )(( )) ( ) ( ) ( ) ( ) { 2 2 证明在 R → ，上式中后一项趋于零。 由 z → , f (z) → 0 ，知 z →, f (z) M 。 − − CR − − CR z z d d M z z f ( )(( )) ( )( *) ( ) d x y z y f f z R R − − + = 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 → − = R z RM − = 0 2 (R z) Rd M
f(=)=(x,y)+m(x,y)(5)=(5,0)+(510) (x,y)= (,0) 丌(5-x)2+y2z p(x,y)=2 v(220) 丌(-x)2+y2 3.以z=0为中心将函数 arctan z展开为泰勒级数。 解 arctan dz 1+z 2=∑(-1)4=2 k=0 2k+1 arctan 1+g ∫∑ k r2k ∑()2=2(- k=0 2k+1 在z=0,函数取主值 arctan0=0
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) f ( ) = u(,0) + iv(,0) d x y z y v v x y R R − − + = 2 2 ( ) ( ,0) ( , ) d x y z y u u x y R R − − + = 2 2 ( ) ( ,0) ( , ) ＃ 3. 以 z=0 为中心将函数 arctan z 展开为泰勒级数。 解： 2 1 1 arctan z z dz d + = = = − 0 2 ( 1) k k k z 2 0 1 arctan + = d z z = = − 0 2 0 ( 1) k k k z d = = − 0 2 0 ( 1) k k z k d = + + = − 0 2 1 2 1 ( 1) k k k k z 在 z=0，函数取主值 arctan 0 = 0
2 4.以z=0为中心将函数 展开为泰勒级数 SIn z 解:2是偶函数,设-2k SIn sinz k=0 2k Z=SInz> a12 ∑ (-1) 2n+1 2k k=0 =d(2n+1) k=0 O ∑∑a (-1) 2n+1+2k n=0k=0 (2n+1) 令m=n+k, ∑∑ (-1) =20=∑ 2m+1 m-n n=0 m=k (2n+1) m=0n=0 "(2n+1) m-n =0 (2n+1)
4. 以 z=0 为中心将函数 z 展开为泰勒级数。 z sin 解： z z sin 是偶函数，设 = = 0 2 sin k k k a z z z = = 0 2 sin k k k z z a z = = + + − = 0 2 0 2 1 (2 1)! ( 1) k k k n n n z a z n = + + = + − = 0 2 1 2 0 (2 1)! ( 1) k n k n k n z n a 令 m = n+k ， = + − = + − = m k m n m n n z n z a 2 1 0 (2 1)! ( 1) = + − = + − = m n m n m n m z n a 0 2 1 0 ] (2 1)! ( 1) [ a0 =1 0 1 (2 1)! ( 1) 0 = + − = − m n a m n n m n
(-1) n=0 "”(2n+1) 0m21递推公式 6a, 2+1) 6 m=20=2-a16+a0/5!a2=1/36-1/57 360 1+-z2+ SIn z 6 360
0 1 (2 1)! ( 1) 0 = + − = − m n a m n n m n m =1 0, (2 1)! ( 1) 1 1 0 = + − a + a 6a1 = a0 . 6 1 a1 = m = 2 递推公式 0 / 6 / 5! = a2 − a1 + a0 360 7 1/ 36 1/ 5! a2 = − = = + 2 + 4 + 360 7 6 1 1 sin z z z z
5.导出周期函数的拉普拉斯变换 解:设g(t+n7)=9()这是周期T的函数 7(D)0()p+1”+ 0 0 (n+1)T ∑∫∞()em o nT 对每一个n作变换z=t-n7 p(T+nT e e Pto -npr e已 T→0,(n+1)7→>7
5.导出周期函数的拉普拉斯变换 解： 设 (t + nT) =(t) 这是周期 T 的函数。 − = 0 ( p) (t)e dt pt = − + − + T T pt T pt t e dt t e dt 2 0 ( ) ( ) + − = = n T nT pt n t e dt ( 1) 0 ( ) 对每一个 n 作变换 = t −nT p t p n T p npT e e e e − − + − − = = ( ) nT → 0,(n +1)T →T
7(p)=∑em∫"t∑ 0 n=0 1-e-P (p) pt 7(v e 0 6如图复摆。当摆平衡 l以后,以一水平力击打 之一摆,使之有初始速 度v。求其微小运动。 k
− = − = T p n npT p e e dt 0 0 ( ) ( ) − − − = T p pT e dt e p 0 ( ) 1 1 ( ) pT n npT e e − = − − = 1 1 0 l l k m m ( ) 1 x t ( ) 2 x t 6.如图复摆。当摆平衡 以后，以一水平力击打 之一摆，使之有初始速 度 v。求其微小运动
解:设摆的位移分别为x()和x2()。 运动方程为: mx,(t 1g x1()+k[x2(t)-x1() g m0)=/+(n)+k[x()-x(O 初始条件:x(O)=0,x(O)= x2(O)=0,元2(O)=0 作拉氏变换:mp3(p)=-mg(P)+A(P)-x(p mg x(P)+[x1(p)-x2(P)
解： 设摆的位移分别为 x1 (t) 和 x2 (t) 。 运动方程为： ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1 1 2 1 x t k x t x t l m g mx t = − + − ( ) ( ) [ ( ) ( )], 2 1 1 2 x t k x t x t l m g mx t = − + − 初始条件： (0) 0, x1 = (0) ; 1 x = v (0) 0, x2 = (0) 0. x 2 = [ ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1 1 2 1 2 x p k x p x p l m g m p x p = − + − ( ) ( ) [ ( ) ( )], 2 x1 p k x1 p x2 p l m g mx p = − + − 作拉氏变换：