第四章留数定理 4.1留数定理 回忆柯西定理:如果f(z)是复闭通 区域上的解析函数,则 5(=)+∑乐(=)=0 这样的积分不为零,必定包含奇点。因此, 研究奇点是求积分的第一要务
第 四 章 留 数 定 理 4.1 留数定理 0 z 回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通 区域上的解析函数，则 ( ) ( ) 0. 1 + = = l n i l i f z dz f z dz 这样的积分不为零，必定包含奇点。因此， 研究奇点是求积分的第一要务
又: 1cdz「0,l不包围a 2ni 包围 (z-0)"dz=0.n≠-1 2ri 1.定理 设函数f(z)在回路所围区域B是除有限个孤 立奇点b,b2…b,,外解析,在闭区域B 上除点b1,b2…,b,外连续,则 5r(e=2n∑Rsy(b)
1. 定理 设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤 立奇点 ，外解析，在闭区域 上除点 外连续，则 ( ) 2 Re ( ). 1 = = l n j bj f z dz i sf b b bn , , , 1 2 b b bn , , , 1 2 B − = − = − l n l z dz n i l l z dz i ( ) 0. 1 2 1 1. 0, 2 1 包围 又： 不包围
证明如图,当区域中含有一个孤立奇点时在其 收敛环可写 f(=)=∑ak(=-=0) 个孤立奇点 5/()=∑a15(=-)=2m 当区域中有n个孤立奇点时 柯西定理 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和
证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其 收敛环可写 =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 0 2 1 ( ) ( ) 1 − =− = − = f z dz a z z dz ia l l k k k l 1 l 2 l 3 l 1 b 2 b 3 b 当区域中有 n 个孤立奇点时 # 柯西定理 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。 一个孤立奇点
当区域中有n个孤立奇点时 5f()=2乐()=2m∑Resx((h) # i=1 b b
l 1 l 2 l 3 l 1 b 2 b 3 b 当区域中有 n 个孤立奇点时 ( ) ( ) 2 Re ( ( )). 1 1 = = = = n i i l n i l f z dz f z dz i s f b i #
2留数的计算 A.单极点的情况: ∫(=)=-1+a0+a1(z-=0)+a2(=-=0)2+ (2-)/()=a1+a(-=0)+a(2-20)2+a2(2-=0)+ imn(x-20)f(z)=41a1作为幂零项 B.m阶极点的情况 f(z)= +an+a1(2-20)+a2(z-2)2+… 2 × z-2
2. 留数的计算 A. 单极点的情况： + + − + − + − = − 2 0 1 0 2 0 0 1 ( ) a a (z z ) a (z z ) z z a f z − = − + − + − + − + 3 2 0 2 0 1 0 0 1 0 (z z ) f (z) a a (z z ) a (z z ) a (z z ) lim ( ) ( ) . 0 1 0 → − = a− z z f z z z a−1 作为幂零项 B. m 阶极点的情况 + + − + − + − + + − + − = − − − 2 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a z z a z z z z a z z a z z a f z m m m m
(z-20)"f(-) n m+1 a+(z +… z-2nataolz +a1(2 n m-1次求导后4-1项为幂零项 (z-20)"f(z) dz m-1)a1+Cma(z-=0)+Cm14a(z-=0)2+Cm4a2(z-=0)3+ lin am-1 (m-1)么(=-=0)mf(=)=a
+ − ++ − + − + − + − = + − − − 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m a z z a z z a a z z a z z z z f z m-1 次求导后 a−1 项为幂零项 − + − + − + − + − = − + − + − − − − 3 2 0 1 2 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m a C a z z C a z z C a z z z z f z dz d m m m m m m m m m 1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z
in(z-z0)f(2=)=a1 (二-=0)"f(=) (n-1)!=→>0d 首先一必须确定极点的阶! 分析+经验
1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z lim ( ) ( ) . 0 1 0 → − = a− z z f z z z 首先－必须确定极点的阶！ 分析＋经验
3.例 (1)f(2)=”-1=0=1处的留数。分母的因式分解 解f() 二-1(二-1=”+2+…+1)个单极点 li(二-1)f(z)=lm -→1zn-1+zn-2+….+1n 2)求f()≈1 的极点,以及在极点上的留数 SIn z 解2→>n兀,Sinz>0,f(z)- 极点为n兀无穷多个单极点
3. 例 (1) , 1 1 1 ( ) 0 = − = z z f z n 处的留数。 ( 1)( 1) 1 1 1 ( ) 1 2 − + + + = − = z n z z n− z n− 解 f z 分母的因式分解 一个单极点 (2) 求 的极点，以及在极点上的留数。 z f z sin 1 ( ) = 解 z →n, sin z →0, f (z) →. 极点为 无穷多个单极点 z z n z f z n n z z 1 1 1 lim ( 1) ( ) lim 1 2 1 1 = + + + − = → − − −→ − n
2-1兀 2-1丌 Im(=-nf(z)=lm n 2→n丌 :nz sin z =nt(sin z):nz coSz z+2i (3)求f()=分+42 的极点,以及在极点上的留数 z+2i z+2 解f(z) (二2+4)z°(z-2i)(z+2i)z(二-2i) A.单极点z=2i 1=1m(z-2)f(=)=inl →2 →)2 (2i)-8i8
n z n z n z n z n z z z n z z n z n f z ( 1) cos 1 lim (sin )' ( )' lim sin lim ( ) ( ) lim = = − − = − − = → → → → (3) 求 5 4 3 的极点，以及在极点上的留数。 2 ( ) z z z i f z + + = 解 ( 2 ) 1 ( 2 )( 2 ) 2 ( 4) 2 ( ) 3 2 3 3 z z i z i z z i z i z z z i f z − = − + + = + + = A. 单极点 z = 2i 8 8 1 (2 ) 1 1 lim ( 2 ) ( ) lim 3 3 2 2 1 i z i i a z i f z z i z i = − = − = = = → → −
B.3阶极点z=0 [zf(z) 2!=-0clz2z-2i lim 2!=>0(z-21(-2i) (4)计算沿单位圆|2=1的如下回路积分 0<≤1 =|=1z2+2z+E 解寻找被积函数在单位圆内的极点,即它的分母 在单位圆内的零点
(4) 计算沿单位圆 z =1 的如下回路积分。 0 1 1 2 2 + + = z z z dz 解 寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母 在单位圆内的零点。 ( 2 ) 8 1 ( 2 ) 2 lim 2! 1 2 1 lim 2! 1 lim [ ( )] 2! 1 3 3 0 2 2 0 3 2 2 0 1 i z i i dz z i d z f z dz d a z z z = − − = − = − = = → − → → B. 3阶极点 z = 0