数学建模 Mathematical Modeling 清华大学姜启源 天从包汤面(子)说起 2通常,1公斤馅,1公斤面,包100个汤圆(饺子) 今天,多于1公斤馅,1公斤面,应多包几个(小的), 还是少包几个(大的)? 员面积为S的一个皮,包成体积为V的汤圆。 若分成n个皮,每个圆面积为s,包成体积为 (共n个) 问Vnv?V=nv?
从包汤圆(饺子)说起 假设」1.皮的厚度一样2.汤圆饺子的形状一样 模 S=ns S=k1R2,V=k2R,R~大皮的半径 s=k1r2,V=k2r3,r~小皮的半径 →V=n2(nv) V>ny(n> 应用(定量结果)V比m大m倍 50个汤圆(饺子)可以包1.4公斤馅 数学建模课程的由來 ·数学知识和能力的培养~“算数学”与“用数学” 数学教学体系和内容的改革 从20世纪六、七十年代(西方)到八、九十年代(我国) 数学建模课程的产生与发展 开设数学建模课程的目的 引起注意激发兴趣介绍方法培养能力
第一章建立数学模型 §I从现实对象到数学模型 §2数学建模示例 §3数学建模的方法和步骤 sI从现实对象到数学模型 1.我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型 地图、电路图、分子结构图…~符号模型 模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出來的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
2.你碰到过的数学模型—“航行问题” 甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少。 用x表示船速,y表示水速,列出方程 (x+y)×30=750 (x-y)×50=750 求解得到x=20,y=5,答:船速每小时20千米 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数); 用符号表示有关量(x,y表示船速和水速); 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程); 求解得到数学解答(x=20,y=5) ·回答原问题(船速每小时20千米)
3.數数学模型 (Mathematical Mod 数学建模( Mathematical Modeling) 数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。 数学建模:建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等) 数学建模的全过程 现]现安对象的信息表述 数学模型 (归纳) 验 求解演绎)|学 界 现实对象的解答 解释数学模型的解答 表述」根据建模目的和已知信息将实际问题翻译成数学问题 求解」选择适当的数学方法求得数学模型的解答 解释」将数学语言表述的解答翻译回实际对象」 验证用现实对象的信息检验得到的解答」 实践曰理论口实践
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4.数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展; ·数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视。 ·在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地; 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具; 数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地 5学根的扎体应用昌 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 如虎添翼 数学建模 计算机技术 识经济
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§2数学建模示例 1.椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析通常一三只脚着地放稳一四只脚着地 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚 模连线呈正方形; 假·地面高度连续变化,可视为数学上的连续 设曲面; 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地. 1.椅子能在不平的地面上放稳吗 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来」 ·椅子位置」利用正方形椅脚连线的对称性 用θ(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地」 着地—椅脚与地面距离为零距离是θ的函数」 四个距离 两个距离 D (四只脚)」正方形对称性 正方形ABCD ΔC两脚与地面距离之和-f0)130点旋转 B,D两脚与地面距离之和~g()
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1.椅子能在不平的地面上放稳吗 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来」 f(0),g()是0的连续函数(假设2) f(),g(0)至少一个为零(对任意0,假设3) 设0=0时,f(0)>0,g()=0 已知:f(),g(0)是θ的连续函数,对任意0 数学 门题fO)·g(0)0,且g(0)=0,fO)>0 证明:存在0,使f00)=g(0)=0 1.椅子能在不平的地面上放稳吗 模型求解」给出一种证明方法 将椅子旋转90,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0,f(0)>0,知f(π/2)=0,g(π/2)>0 令h(0)=f()g(0),则h(0)>0和h(2)<0 由fg的连续性知h为连续函数,据连续函数的 基本性质,必存在00,使h(O=0,即00)=g(00) 因为00)·g(00=0,所以f00)=g(0)=0 评逢和思考建模的关键0和f0)g0)的确定 假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子
4 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + + 5 5 + 6 20 1. + 5 5 + # 57+ # # 5 + # # 5 + 5 + 5 + 5+
2.商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 随从们密约,在河的任 河 岸,一旦随从的人数 比商人多,就杀人越货 小船至多2人) 但是乘船渡河的方案由商人决△△△3名商人 定.商人们怎样才能安全过河?×××3名随从 问题分析多步决策过程 决策~毎一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河 2商人们怎样安全过河模型构成 x~第k次渡河前此岸的商人数xy=0,1,2,3 y第k次渡河前此岸的随从数k=1,2, s=(x,y)过程的状态S~允许状态集合 S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 u第k次渡船上的商人数u,v=0,1,2; v第k次渡船上的随从数 k=1,2, d=(k,v)}决策D={(u,)u+v=1,2}~允许决策集合 s+1=s+(-1}dk~状态转移律 多步决求dD(k=1,2,…m,使s∈S按转移律 策问题」由 s=(3,3)到达sn+1=(0,0)
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2.商人们怎样安全过河S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3 模型·穷举法~编程上机x3,y-0123X3y=.2} 求解」,图解法 状态s=(xy)~16个格点 允许状态~10个。点 允许决策~移动1或2格; k奇左下移;k偶,右上移 d1,…d1给出安全渡河方案 评注和思考 n+1 规格化方法,易于推广考虑4名商人各带随从的情况 3.如何预报人口的增长 「背景]世界人口增长概况 年1625 人口(亿)5 130201301413 0 0 60 中国人口增长概况 年1908193319531964198219901995 人口(亿)34.76710.11.312 研究人口变化规律控制人口过快增长
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