第三讲条件概率及其应用 条件概率定义 条件概率性质 Bayes公式
第三讲 条件概率及其应用 • 条件概率定义 • 条件概率性质 • 全概率公式 • Bayes公式
条件概率的定义 条件概率是概率论中的一个重要概念,同时,我 们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要 工具 什么是条件概率?
条件概率的定义 条件概率是概率论中的一个重要概念，同时，我 们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要 工具。 什么是条件概率？
例:设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸 这10张彩票,张三和李四各得一张。记 A={张三中奖}B={李四中奖} 由古典概率模型我们知 P(A)=P(B)= 10
例：设 10 张彩票中只有一张中奖票，10 人同时摸 这 10 张彩票，张三和李四各得一张。记 A = {张三中奖} B = {李四中奖} 由古典概率模型我们知 P A P B = 1 （ ） （ ）= 10
现在设李四先刮开彩票,已知李四有没有没中奖的信 息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响? 显然,如果已知李四中奖,那么张三就没有机会中 奖,也就是说:在事件B发生的条件下,事件A发生 的概率为0,记P(AB)=0 如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大?也就 是说:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为 多少? P(A B) 9
显然，如果已知李四中奖，那么张三就没有机会中 奖，也就是说：在事件B 发生的条件下，事件 A 发生 的概率为 0，记P A B ( | ) 0 = . 现在设李四先刮开彩票，已知李四有没有没中奖的信 息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响？ 如果已知李四没中奖，张三中奖的机会有多大？也就 是说：在事件B发生的条件下，事件 A 发生的概率为 多少？ 1 ( | ) 9 P A B =
例:掷一颗均匀的骰子,出现1,2,3,4,5,6 点的可能性都一样,因此,每次出现4或6的可 性为1/3。 也就是说 样本空间W={,2,3,4,5,6} 事件A={4,6} P(As I 3
例：掷一颗均匀的骰子，出现 1，2，3，4，5，6 点的可能性都一样，因此，每次出现 4 或 6 的可能 性为 1/3。 也就是说 样本空间 W= {1,2,3,4,5,6} 事件A = {4 6} ， 1 3 P A （ ）=
现在假如有人看了一眼骰子,并告诉你,骰子出现的点 数是偶数,这信息对你的判断或押赌很重要,这时你就 有多少把握断定它是4或者6? 如果记B={偶数},已知B发生,那么你选择的范围就限 于{2,46},既然出现24,6是等可能的,那么出现{46}的 概率为2/3。 也就是说:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率 是2/3,写 P(A|B)=2/3
现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点 数是偶数，这信息对你的判断或押赌很重要，这时你就 有多少把握断定它是 4 或者 6？ 如果记B = {偶数}，已知B发生，那么你选择的范围就限 于{2,4,6}，既然出现 2,4,6 是等可能的，那么出现{4,6}的 概率为 2/3。 也就是说：在事件B 发生的条件下，事件 A 发生的概率 是 2/3, 写 P A B ( | ) 2/ 3 =
回忆一下上面的计算过程: 在事件B发生的条件下,选择的范围就限于 B={2,4,6},也就是说我们把W=B={2,4,6}当作 个缩小了的新的样本空间,其中每个基本结果的出 现是等可能的。这就形成一个新的古典概率模型。这 时再考察事件A的概率
回忆一下上面的计算过程： 在事件 B 发 生 的 条 件 下 ， 选 择 的 范 围 就 限 于 B = {2,4,6}, 也就是说我们把W = = ¢ B {2,4,6}当 作 一个缩小了的新的样本空间，其中每个基本结果的出 现是等可能的。这就形成一个新的古典概率模型。这 时再考察事件 A的概率
P(AB) P(A D P(B) 般地,在古典概率模型下,都可以这样做,当然我 们要求P(B)>0。对一般的概率空间,我们把它作为 条件概率的数学定义
( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = 一般地，在古典概率模型下，都可以这样做，当然我 们要求P B( ) 0 > 。对一般的概率空间，我们把它作为 条件概率的数学定义
条件概率定义 假设(,F,P)是一个概率空间,A,B是两个事 件,用P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发 生的概率大小,并定义 P(A B) P(AB) P(B) 当然,在上式中我们要求P(B)>0。如果 P(B)=0,按定义,人们几乎无法观察到B的发 生
条件概率定义 假 设( , F, P )是一个概率空间， A, B 是两个事 件，用P A B ( | )表示在事件B 发生的条件下， A发 生的概率大小，并定义 ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = 当然，在上式中我们要求 P B( ) 0 。如果 P B( ) 0 = ，按定义，人们几乎无法观察到B 的 发 生
例.一个家庭有两个孩子。 (1)已知至少有一个男孩,求两个都是男孩的概率? (2)已知年纪小的是男孩,求两个都是男孩的概率?
例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？