《计算方法课程复习》第4章线性方程组直接解法复习

第4章线性方程组直接解法 、考核知识点: 简单消元法,主元消元法(列主元消元法),紧凑格式法,矩阵的三角分解。 二、考核要求: 1.了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件 2.掌握矩阵的三角分解( Doolittle分解, Crout分解,LU分解) 3.熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程组的方法。 重、难点分析 例1用列主元消元法的方程组 2x,+3x,+5x2=5 3x1+4x,+8: x2+3 注意:每次消元时主元的选取是各列中系数最大的 解第1列主元为3,交换第1、2方程位置后消元得, 3x1+4x2+8x3=6 x2-x3 x2+x3=3 第2列主,元为交换第2、3方程位置后消元得 3x1+4x2+8x3=6

1 第 4 章 线性方程组直接解法 一、考核知识点： 简单消元法，主元消元法（列主元消元法），紧凑格式法，矩阵的三角分解。 二、考核要求： 1．了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件 2．掌握矩阵的三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解） 3．熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程组的方法。 三、重、难点分析 例 1 用列主元消元法的方程组      + + = + + = + + = 3 3 5 3 4 8 6 2 3 5 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。 解 第 1 列主元为 3，交换第 1、2 方程位置后消元得，          + = − = + + = 3 3 1 3 5 1 3 1 3 1 3 4 8 6 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第 2 列主 3 5 ，元为交换第 2、3 方程位置后消元得          − = + = + + = 5 2 5 2 3 3 1 3 5 3 4 8 6 3 2 3 1 2 3 x x x x x x

回代解得x3=-1x2 例2.将矩阵A进行三角分解( Doolittle分解 Crout分解LDU分解) 42-2 其中A=22-2 说明:一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进 行矩阵的三角分解(或代入公式求得相应元素)。在分解时注意矩阵乘法、矩 阵求逆等代数运算。 F r2=a2-l212=1,23=a23-l213=-1 9 则矩阵的 Doolittle分解为 因为对角阵D=1,则U=D-R=1-1 所以矩阵的LDU分解为 4 21

2 回代解得 x3 = −1, x2 = 2, x1 = 2 例 2．将矩阵 A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解） 其中           − − − − = 2 3 13 2 2 2 4 2 2 A 说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进 行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩 阵求逆等代数运算。 解： 2 , 9 1 , 1 ; 2 1 , 2 1 4 , 2 , 2 ; 33 22 32 31 12 32 22 22 21 12 23 23 21 13 11 31 31 11 21 21 11 11 12 12 13 13 = − = − = = − = = − = − = = = = − = = = = = = − r r a l r l r a l r r a l r a a l a a l r a r a r a 则矩阵的 Doolittle 分解为           − −                 − − =           − − − − 9 1 1 4 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 13 2 2 2 4 2 2 因为对角阵           = 9 1 4 D ，则               − − = = − 1 1 1 2 1 2 1 1 1 U D R 所以矩阵的 LDU 分解为               − −                           − − =           − − − − 1 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 13 2 2 2 4 2 2

矩阵的 Crout分解为 11 22 2-313||-2-29 例3用紧凑格式求解方程组 2-313x3」 注意:消元过程是解方程组LY=b,和回代过程是解方程组RX=Y。 解:(1)将矩阵进行三角分解,由上例得: 矩阵的三角分解为 42-2 2 2-313 (2)解方程组LY=b,y=8,y2=0,y3=9 (3)解方程组RX=Y,x1=2,x2=1,x3=1 所以X=(2,1,1)

3 矩阵的 Crout 分解为               − −           − − =           − − − − 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 9 2 1 4 2 3 13 2 2 2 4 2 2 例 3 用紧凑格式求解方程组           =                     − − − − 5 4 8 2 3 13 2 2 2 4 2 2 3 2 1 x x x 注意：消元过程是解方程组 LY = b ，和回代过程是解方程组 RX = Y 。 解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为           − −                 − − =           − − − − 9 1 1 4 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 13 2 2 2 4 2 2 （2）解方程组 LY = b , y1 = 8, y2 = 0, y3 = 9 （3）解方程组 RX = Y , x1 = 2, x2 =1, x3 =1 所以 T X = (2, 1, 1)