第四讲独立性和 Bernau试验 、两个事件独立 前面我们已经看到,已知事件B发生,相当于提供了有关随 机试验结果的部分信息,它通常会影响我们对另一事件A发 生的概率大小的计算。但也经常会出现这样的情形:B的发生 并没有改变事件A发生的概率,也就是 P(ABP(B) 这时,我们称A和B相互独立。这是概率论中最重要的概念 之
第四讲 独立性和Bernoulli试验 一、两个事件独立 前面我们已经看到，已知事件 B 发生，相当于提供了有关随 机试验结果的部分信息，它通常会影响我们对另一事件 A 发 生的概率大小的计算。但也经常会出现这样的情形: B 的发生 并没有改变事件 A发生的概率，也就是 P(A|B)=P(B) 这时，我们称 A和B 相互独立。 这是概率论中最重要的概念 之一
例1.口袋中有a只黑球,b只白球,连摸两 次,每次一球。记A={第一次摸时得黑球}, B={第二次摸时得黑球}, 试问A和B是否独立? 就两种情形加以讨论 (1)有放回(2)无放回
例 1. 口袋中有 a 只黑球， b 只白球，连摸两 次，每次一球。记A= { 第一次摸时得黑球}， B={第二次摸时得黑球}， 试问 A和B是否独立？ 就两种情形加以讨论: (1)有放回 (2)无放回
根据条件概率的定义,上述独立性可以写成 P(AB)=P(A)P(B) 我们注意到,上面乘积形式使用起来更方便 特别,如果P(B)=0,那么对任何事件A, P(AB=0,因此,P(AB)=P(A)P(B=0成立 这样,A,B两个事件相互独立;
根据条件概率的定义，上述独立性可以写成 P(AB)=P(A)P(B) 我们注意到，上面乘积形式使用起来更方便。 特别，如果 P(B)=0 ，那么对任何事件 A ， P(AB)=0，因此，P(AB)=P(A)P(B)=0成立。 这样，A, B两个事件相互独立；
类似地,如果P(B)=1,那么对任何事件A, P(AB)P(A),因此,P(AB)=P(AP(B),这 样,A,B两个事件同样相互独立 结论:,9和任何事件独立
类似地，如果 P(B)=1 ，那么对任何事件 A ， P(AB)=P(A) ，因此， P(AB)=P(A)P(B) ， 这 样，A, B两个事件同样相互独立。 结论： , 和任何事件独立
直观上可以想象,如果B发生没有改变事件A发生的概 率,那么B发生也不会改变事件A发生的概率。这是 因为B和B相对于A来说,提供的信息是同样的。事 实上,很容易验证,如果P(AB)=P(AP(B), 那么P(AB)=P(A)P(B)。 类似地,P(AB)=P(AP(B)。 结论:如果A,B相互独立,那么A和BC相互独立, A和B相互独立,AC和B相互独立
直观上可以想象，如果 B 发生没有改变事件 A 发生的概 率，那么 c B 发生也不会改变事件A发生的概率。这是 因 为 B 和 c B 相对于 A来说，提供的信息是同样的。事 实上，很容易验证， 如果P(AB)=P(A)P(B)， 那么 c c P(AB )=P(A)P(B )。 类似地， c c c c P(A B )=P(A )P(B )。 结论：如果 A，B 相互独立，那么 A和 c B 相互独立， c A 和B相互独立, c A 和 c B 相互独立
我们注意到,两个事件独立和两个事件不相容是 完全不同的两个概念。前者说一个事件是否发生 对另一个事件发生的概率大小没有影响;而后者 说,两个事件是不可能同时出现的
我们注意到，两个事件独立和两个事件不相容是 完全不同的两个概念。前者说一个事件是否发生 对另一个事件发生的概率大小没有影响；而后者 说，两个事件是不可能同时出现的
2.多个事件两两独立和相互独立 有了两个事件的独立性,多个事件之间两两独立就 容易了: 例2.一个均匀的正四面体,其中第一面染成红色 第二面为白色,第三面为黑色,第四面为红白黑三 色。分别用A,B,C记为投一次四面体时,底面出 现红、白、黑的事件
2. 多个事件两两独立和相互独立 有了两个事件的独立性， 多个事件之间两两独立就 容易了： 例 2. 一个均匀的正四面体，其中第一面染成红色， 第二面为白色，第三面为黑色，第四面为红白黑三 色。分别用 A, B, C 记为投一次四面体时，底面出 现红、白、黑的事件
例.一个家庭有两个孩子。 (1)已知至少有一个男孩,求两个都是男孩的概率? (2)已知年纪小的是男孩,求两个都是男孩的概率? 容易算得 P(A)=1/2,P(B)=12,P(C)=12 并且 P(ABP(BC)P(AC)=P(ABC)=1/4
例. 一个家庭有两个孩子。 (1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？ 容易算得: P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2 并且 P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)=1/4
因此 P(ABP(A)PB) P(ACP(AP(C) P(BC)P(BP(C) 即,这三个事件两两独立, 但 P(ABC)≠P(A)P(B)P(C) 换句话说, P(ABC)≠P(A) 也就是已知B,C同时发生的情况下,A发生的概率 计算受到影响,A并不和BC独立
因此 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 即，这三个事件两两独立， 但 P(ABC) P(A)P(B)P(C) 换句话说， P(A|BC) P(A) 也就是已知B, C 同时发生的情况下， A 发生的概率 计算受到影响， A并不和BC 独立
现在引进一个定义。 称A,B,C三个事件相互独立,如果以下四个等式 成立 P(AB)P(A)PB) P(ACP(AP(C) P(BC)P(B)P(C) P(ABC)P(A)P(B)P(C) 按此定义,上面例2中,A,B,C三个事件两两独 立,但不相互独立
现在引进一个定义。 称A, B, C三个事件相互独立，如果以下四个等式 成立 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 按此定义，上面例 2 中，A, B, C三个事件两两独 立， 但不相互独立