圆与三角学 在各種各樣的平面形之中,圓是最為完美對稱者,而三角形則是最為簡單者。所 以在平面幾何的研討中,圓和三角形理所當然地是其精要之所在。例如定量平面 幾何中的基本定理,首推三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理,即 X尚 ·面積公式:三角形面積= △ABC△ABC ·相似三角形定理:設 的三内角對應相等,則其三對對應 邊成比例,即 AB AC BC A'B AC BC =k(k:相似比) ·勾股定理:直角三角形的邊長滿足 AC+BC=AB(亦即畢氏定理) (勾方加股方等于弦方) 本章將以上述三者為基礎,硏討圓與三角形的解析幾何,其所得之基礎理論也就 是三角函數的基本性質和三角定律。正弦、餘弦函數是一對起源于圓周運動,密 切配合的週期函數,它們是解析幾何學和週期函數的分析學中最為基本和重要的 函數;而正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質(主要是其對稱性)的直 接反映。 三角學( Trigonometry)所討論的課題是三角形的各種各樣幾何量之間的函數 開聯。由此可見,三角學其實就是三角形的解析幾何,可以說是具體而微的解析 幾何;它是整個平面解析幾何的基礎所在,也是用解析法系統硏究幾何的基本公 具 正弦丶餘弦函數的基本性質 如[圖3-1]所示,設P(x3)是在單位圓上,以(10)為起點作逆時鐘方向的 單位速率運動的動點,則它的x,y坐標乃是時間t的函數,分別定義為餘弦 函數cost和正弦函數sint
圆与三角学 在各種各樣的平面形之中，圓是最為完美對稱者，而三角形則是最為簡單者。所 以在平面幾何的研討中，圓和三角形理所當然地是其精要之所在。例如定量平面 幾何中的基本定理，首推三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理，即 面積公式：三角形面積 = 相似三角形定理：設 和 的三內角對應相等，則其三對對應 邊成比例，即 勾股定理：直角三角形的邊長滿足 本章將以上述三者為基礎，研討圓與三角形的解析幾何，其所得之基礎理論也就 是三角函數的基本性質和三角定律。正弦、餘弦函數是一對起源于圓周運動，密 切配合的週期函數，它們是解析幾何學和週期函數的分析學中最為基本和重要的 函數；而正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是其對稱性）的直 接反映。 三角學 (Trigonometry) 所討論的課題是三角形的各種各樣幾何量之間的函數 關聯。由此可見，三角學其實就是三角形的解析幾何，可以說是具體而微的解析 幾何；它是整個平面解析幾何的基礎所在，也是用解析法系統研究幾何的基本公 具。 正弦、餘弦函數的基本性質 如 [圖 3-1] 所示，設 P(x,y) 是在單位圓上，以 (1,0) 為起點作逆時鐘方向的 單位速率運動的動點，則它的 x, y 坐標乃是時間 t 的函數，分別定義為餘弦 函數 和正弦函數
P SIn cos t [圖3-1] 其實,x=cost和 y=sint 乃是單位圓的自然的動態(解析)描述。由此可以 想到,正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質(主要是對稱性)的解析表 述。例如 OP=1 cost+sin t=1 (勾股定理) 2.圓周周長=2丌兮週期性: cos(2丌+t)=cost sin(2丌+t) (31) sin t 3.對于x軸(或y軸)的反射對稱性(參看[圖3-2]) cos(-t)=cost, sin(-t)=-sint cos(r-t)=-cost, sin(-t)=sint) (32) 4.對于直線x=y的反射對稱性(參看[圖3-2]): in(o-t)=cost, cos(o-t)=sint (33)
[ 圖 3-1 ] 其實， 和 乃是單位圓的自然的動態（解析）描述。由此可以 想到，正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表 述。例如 1. （勾股定理） 2. 圓周周長 週期性： 3. 對于 x-軸（或 y-軸）的反射對稱性（參看 [圖 3-2]） 4. 對于直線 x=y 的反射對稱性（參看 [圖 3-2]）：
P(cos(r -t), sin(r-t) P(cost, sint P (1,0) P(cos(-t), sin(-t)) 圖3-2] 5.圓的旋轉對稱性兮複角公式: cos(e-a)=cos B cos a +sin A sina ,4 y Pa(cos A, sin p) Pa(cos a, sina) Pa-a(cos(a-a), sin(a-a)) (1, [圖3-3] 如[圖3-3]所示,△OPP△OPF-a 乃是 旋轉α角之所得,所以當 Pa PoP 然有 即有
[ 圖 3-2 ] 5. 圓的旋轉對稱性 複角公式： [ 圖 3-3 ] 如 [圖 3-3] 所示， 乃是 旋轉 α 角之所得，所以當 然有 ，即有
(cos p-cos a)2+(sin p-sin a)2=(cos(B-a)-1)+sin2(B-a) 亦即 cosa+sin2A+cos2 a +sin2a-2(cos B cos a +sin Asin a) = cos(B-a)+sin(B-a)+1-2 cos(B-a) (3 cos(a-a)=cos p cos a+sin p sin a 把(34)式和(3,2)-式結合,即得 cos(a +a)=cos(p-a)) cos B cos a-sin sina (3.6) 再把(36)式和(33)式相結合,即得 sin(a+B)=cos (-a)-al = sIn a cos日+ cos a sin B 我們還可以把(36)-式和(3.7)-式用複數的乘法組合成下述更加整齊的複值形式,即 (cos a+isin)(cos p+isin A)=cos(a+p)+isin(a+B (38) 再者,我們可以把〓xⅳ想為平面上P(xy)點的複數坐標( complex coordinate)。如 OP=T=√x2+y2 圖3-4]所示,P點的極坐標 和θ分別就是z的絕對值和幅角。 I+iy P(x,y),(r,6) r(cos 8+ i sin 8) 圖3-4] 將(3.8)-式用來表達複數的乘法,即有 x1.22= a1l(cos 81+isin 01). z2l(cos B2 +isin A z1|·|z2|(cos(61+62)+asin(61+62) (3.9) 亦即兩個複數x,相乘,其絕對值相乘而其幅角則相加。此事在研討複數時具有基本的重 6.和化積公式和反射對稱性
亦即 把 (3.4)-式和 (3.2)-式結合，即得 再把 (3.6)-式和 (3.3)-式相結合，即得 我們還可以把 (3.6)-式和 (3.7)-式用複數的乘法組合成下述更加整齊的複值形式，即 再者，我們可以把 z=x+iy 想為平面上 P(x,y) 點的複數坐標 (complex coordinate) 。如 [圖 3-4] 所示，P 點的極坐標 和 θ 分別就是 z 的絕對值和幅角。 [ 圖 3-4 ] 將 (3.8)-式用來表達複數的乘法，即有 亦即兩個複數 z1, z2 相乘，其絕對值相乘而其幅角則相加。此事在研討複數時具有基本的重 要性。 6. 和化積公式和反射對稱性
B(cos A, sin B) (cos (a +0), sin (a+p)) A(cosa, sin a (日 圖3-5 △OAB 如[圖3-5]所示,等腰三角形 對于OM成反射對稱。所以 ∠AOM=8-a)zOC=la+) 即有 M=G(cos a+cos 0),:(sin a+sin P)) C=(c08(a+,m2(a+) OM= cos (a-a (cos a cos B)=cos (a-B)cos (a+a) (311) sina+sin p)=cos(a-A)sin (a+p) (二)三角定律 △ABC 一個三角形 含有各種各樣的幾何量,例如它的三邊邊長、三個內角的角 度、面積、外徑(外接圓的半徑)和內徑(內切圓的半徑)等等。而它們之間 又存在著各種各樣的函數關係。本節所要硏討者,乃是它們之間的基本函數關係, 通稱之為三角定律。 1.三角形面積公式與正弦定律
[ 圖 3-5 ] 如 [圖 3-5] 所示，等腰三角形 對于 OM 成反射對稱。所以 , 。即有 （二）三角定律 一個三角形 含有各種各樣的幾何量，例如它的三邊邊長、三個內角的角 度、面積、外徑（外接圓的半徑）和內徑（內切圓的半徑）等等。而它們之間， 又存在著各種各樣的函數關係。本節所要研討者，乃是它們之間的基本函數關係， 通稱之為三角定律。 1. 三角形面積公式與正弦定律
A B 圖3-6] 如[圖3-6]所示,我們將以a,b,c分別表示角A,B,C的對邊邊長, 表示其面積。易見h= bsin a,所以 △==c,h== bcsin a (312) △=1 ca sin B=1 absinc 由此即得下述正弦定律: sin a sinb sino2△ (313) 2.垂直投影與餘弦定律 C 圖3-7]
[ 圖 3-6 ] 如 [圖 3-6] 所示，我們將以 a, b, c 分別表示角 A, B, C 的對邊邊長， 表示其面積。易見 ，所以 同理： 。由此即得下述正弦定律： 2. 垂直投影與餘弦定律 [ 圖 3-7 ]
由[圖3-7]和 Cosine的定義,即有 bcos A+a cosB=c 同理: ccOs B+ b cos C=a (314) a cos C+ C Cos A= (cos A, cos B, cos CH 由上述 的線性方程組即可解得 A-b+c-a 26c c2+a2-b2 cos B (餘弦定律) (314) a2+b2-c2 cOs C △ABC 主]:SSs.疊合條件的幾何意義是 的三邊邊長業已唯一地確定了它的三個內角。 換句話說,其三個內角分別是它的三邊邊長的函數。上述餘弦定律給出了它們的具體表達式 亦即 ∫b2+c2 等等 26c 同樣的,三角形的一組疊合條件如SAS,ASA.的幾何意義其實也就是三角形的其他變量 都可以用這樣所給的一組自變元加以表達。[參看習題(8)和(9)。 3.正弦定律之第二証法 我們也可以用餘弦定律來推導正弦定律,即 sin2 A 1-C052A 402bg{4b22-(2+c2-a2)} 402ba2a0b2+b2+c2a2)-(a2+b+c}
由 [圖 3-7] 和 Cosine 的定義，即有 由上述 的線性方程組即可解得 [註]：S.S.S. 疊合條件的幾何意義是 的三邊邊長業已唯一地確定了它的三個內角。 換句話說，其三個內角分別是它的三邊邊長的函數。上述餘弦定律給出了它們的具體表達式， 亦即 同樣的，三角形的一組疊合條件如 S.A.S., A.S.A. 的幾何意義其實也就是三角形的其他變量 都可以用這樣所給的一組自變元加以表達。[參看習題 (8) 和 (9)。] 3. 正弦定律之第二証法 我們也可以用餘弦定律來推導正弦定律，即
因為上式右側是a,b,c的對稱式,所以 12B C A sin a sinb sinC 而 都是恆正的,所以由(3.15)-式和(316)式可以推論 sin a sinb sin C{2∑a2b2-∑ abc (3.16) ∑a2b2=a2b2+b2c2+c2a2∑a4=a4+b4+c4 其中 乃是常用的簡約寫法。再將 (316)式和(3.13)-式相對比,即得 16△2=2∑a2b2-∑ (317) 其實,上式之右側是可以分解成四個一次因式的乘積者,而且此事可以從一個簡單的幾何常 識推論而知,亦即三角形的三邊邊長中,若有其一為其他兩者之和,則其面積為零。亦即 b 或 b+c=0或 +b+c=0 ∑a2b2-∑a4=0 將上述事實和餘式定理相結合,即可推論它含有因式 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+ 至此即可直接驗証 16△2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) (317) 通常把它改寫成 △=√s(s-a)(s-b(s-c) 17)
因為上式右側是 a, b, c 的對稱式，所以 而 , , 都是恆正的，所以由 (3.15)-式和 (3.16)-式可以推論 其中 , 乃是常用的簡約寫法。再將 (3.16')-式和 (3.13)-式相對比，即得 其實，上式之右側是可以分解成四個一次因式的乘積者，而且此事可以從一個簡單的幾何常 識推論而知，亦即三角形的三邊邊長中，若有其一為其他兩者之和，則其面積為零。亦即 將上述事實和餘式定理相結合，即可推論它含有因式 至此即可直接驗証 通常把它改寫成
此式在西方遠在公元前三世紀已由 Archimedes所求得,但是因為訛傳而稱之為 Heron's formula.而在中國南宋時期,秦九韶也獨立地求得此一公式 4.正弦定律的第三証法 R B A [圖3-8] △ABC 如[圖3-8]所示,O是 的外接圓之圓心,R是其半徑,CA則是 △ABC 條直徑。由熟知的圓周角等于圓心角之半可見∠A′=∠A而且 是直 角三角形。所以 sin a= sin a 2R (318) 亦即 sin a sin b sinC 1 (319) 將(319)-式和(313)-式相比,即得外徑R的公式 4△ (320) 5.內切圓半徑和半角公式
此式在西方遠在公元前三世紀已由 Archimedes 所求得，但是因為訛傳而稱之為 Heron's formula. 而在中國南宋時期，秦九韶也獨立地求得此一公式。 4. 正弦定律的第三証法 [ 圖 3-8 ] 如 [圖 3-8] 所示，O 是 的外接圓之圓心，R 是其半徑， 則是 一條直徑。由熟知的圓周角等于圓心角之半可見 而且 是直 角三角形。所以 亦即 將 (3.19)-式和 (3.13)-式相比，即得外徑 R 的公式 5. 內切圓半徑和半角公式
C 圖3-9] △ABC 如[圖3-9]所示,O是 的內切圓之圆心,它是三個內角分角線的共 △OAB△OBC△OCA 交之點。再者 和 的高都是內徑r。即有 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA =Tc+÷Ta+ 由此即得 (s-a)(s-b)(s-c) (3 再者,如[圖3-9]所示(用熟知的切線長相等) [+y=C, y+z=a, z+I=b (323) 解之即得 23
[ 圖 3-9 ] 如 [圖 3-9] 所示，O' 是 的內切圓之圓心，它是三個內角分角線的共 交之點。再者 , 和 的高都是內徑 r 。即有 由此即得 再者，如 [圖 3-9] 所示（用熟知的切線長相等） 解之即得