习题2.1 3.将下列方程化为可分离变量方程,并求解 (2)出=# (8)出 (14)出=sin(x+y+1) (2)令x=5+1,y=n+2,可将原方程变为 d_5 d5+ ,则有 du iu= 用分离变量法求得其通解为x2+2a-1=C15-2,其中C1为任意常数.再由 2 r-1s=x-1 代入上式并化简得原方程的通解为 其中C为任意常数 (8)将原方程改写为 山=2+型 令u=显,则有 用分离变量法求得其通解为a2=lnx2+C,将u换成得原方程的通解为y2=x2(lx2+C) 其中C为任意常数 (14)令u=x+y+1,则有 du=1+sin u 用分离变量法求得其通解为tanu-sec=x+C,将u换成x+y+1得原方程的通解为 tan(r +y+1)-sec(r+y+1=r+C 其中C为任意常数 4.解下列线性微分方程 (1)出-2 (6)#-2xy=x
1 习 题 2.1 3. 将下列方程化为可分离变量方程, 并求解. (2) dy dx = x−y+1 x+y−3 . (8) dy dx = x 2+y 2 xy . (14) dy dx = sin(x + y + 1). 解: (2) 令 x = ξ + 1, y = η + 2, 可将原方程变为 dη dξ = ξ − η ξ + η , 令 u = η ξ , 则有 ξ du dξ + u = 1 − u 1 + u , 用分离变量法求得其通解为 u 2 + 2u − 1 = C1ξ −2 , 其中 C1 为任意常数. 再由 u = η ξ = y − 2 x − 1 , ξ = x − 1, 代入上式并化简得原方程的通解为 y 2 + 2xy − x 2 − 6y − 2x = C, 其中 C 为任意常数. (8) 将原方程改写为 dy dx = x y + y x , 令 u = y x , 则有 x du dx + u = 1 u + u, 用分离变量法求得其通解为 u 2 = ln x 2 + C, 将 u 换成 y x 得原方程的通解为 y 2 = x 2 (ln x 2 + C), 其中 C 为任意常数. (14) 令 u = x + y + 1, 则有 du dx = 1 + sin u, 用分离变量法求得其通解为 tan u − sec u = x + C, 将 u 换成 x + y + 1 得原方程的通解为 tan(x + y + 1) − sec(x + y + 1) = x + C, 其中 C 为任意常数. 4. 解下列线性微分方程. (1) dy dx − 2y x+1 = (x + 1) 5 2 . (6) dy dx − 2xy = x. 解:
(1)这里a(x)=x2,f(x)=(x+1)3.从而可求出原方程的通解为 y= exp( dr)(C+ dx)dr +2(x+1)3, 即y=C(x+1)2+3(x+1)3,其中C为任意常数 (6)这里a(x)=2x,f(x)=x.从而可求出原方程的通解为 y= exp(2/rdr)(C 即y=-2+Cex,其中C为任意常数 6.求下列初值问题的解 (2)y(1+x2)dly=x(1+y2)dr,y(0)=1. )e" (2)这是变量分离的方程,分离变量后得 1+y2y=1+a 两端积分得其通解为1+y2=C(1+x2),其中C为任意常数.代入初值条件得C=2.故所给 初值问题的解为y=√1+2r2 (5)令u=e",原方程变为 -=r+r 容易求得其通解为u=x2+1x4+C,从而原方程的通解为 其中C为任意常数.代入初值条件得e=是+C,从而C=e-.故所给初值问题的解为 1 7.求解下列 Bernoulli方程 (1)出=62-xg (3)x-4=2n2√(x≠0,y>0) (1)当y≠0时,令z 原方程变为 这是一阶线性微分方程,其通解为
2 (1) 这里 a(x) = 2 x+1 , f(x) = (x + 1) 5 2 . 从而可求出原方程的通解为 y = exp(Z 2 x + 1 dx)(C + Z (x + 1) 5 2 exp(− Z 2 x + 1 dx)dx) = C(x + 1)2 + 2 3 (x + 1) 7 2 , 即 y = C(x + 1)2 + 2 3 (x + 1) 7 2 , 其中 C 为任意常数. (6) 这里 a(x) = 2x, f(x) = x. 从而可求出原方程的通解为 y = exp(2 Z xdx)(C + Z x exp(−2 Z xdx)dx) = − 1 2 + Cex 2 , 即 y = − 1 2 + Cex 2 , 其中 C 为任意常数. 6. 求下列初值问题的解. (2) y(1 + x 2 )dy = x(1 + y 2 )dx, y(0) = 1. (5) e y dy dx − x − x 3 = 0, y(1) = 1. 解: (2) 这是变量分离的方程, 分离变量后得 y 1 + y 2 dy = x 1 + x2 dx, 两端积分得其通解为 1 + y 2 = C(1 + x 2 ), 其中 C 为任意常数. 代入初值条件得 C = 2. 故所给 初值问题的解为 y = √ 1 + 2x2. (5) 令 u = e y , 原方程变为 du dx = x + x 3 , 容易求得其通解为 u = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + C, 从而原方程的通解为 e y = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + C, 其中 C 为任意常数. 代入初值条件得 e = 3 4 + C, 从而 C = e − 3 4 . 故所给初值问题的解为 e y = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + e − 3 4 . 7. 求解下列 Bernoulli 方程 (1) dy dx = 6 y x − xy2 . (3) x dy dx − 4y = 2x 2√y (x 6= 0, y > 0). 解: (1) 当 y 6= 0 时, 令 z = y −1 , 原方程变为 dz dx = − 6 x z + x, 这是一阶线性微分方程, 其通解为 z = 1 x6 (C + 1 8 x 8 )
从而原方程的通解为 r6 rs 其中C为任意常数.此外,显然y=0也是方程的解 (3)令z=√9,原方程变为 dz 这是一阶线性微分方程,其通解为z=x2(m|x+C),从而原方程的通解为y=x4(mx+C)2 其中C为任意常数 11.设v(a),y2(ax)是方程 dr +p(a)y= g() 的两个互异解.求证对于该方程的任一解y(x),成立恒等式 y(a)-(2)=C, 其中C是某常数. 证明:令v(x)=y(x)-(x),叭(x)=y(x)-1(x),容易验证 do d+p(x)(a)=0,a+p(a)o()=0 因此存在常数k1,k2≠0使得 v(r)=ki exp( 其中xo∈R.从而 (x)-y1(x)o(x) = 这里C=为一常数
3 从而原方程的通解为 x 6 y − x 8 8 = C, 其中 C 为任意常数. 此外, 显然 y = 0 也是方程的解. (3) 令 z = √y, 原方程变为 dz dx = 2 x z + x, 这是一阶线性微分方程, 其通解为 z = x 2 (ln |x| + C), 从而原方程的通解为 y = x 4 (ln |x| + C) 2 , 其中 C 为任意常数. 11. 设 y1(x), y2(x) 是方程 dy dx + p(x)y = q(x), 的两个互异解. 求证对于该方程的任一解 y(x), 成立恒等式 y(x) − y1(x) y2(x) − y1(x) = C, 其中 C 是某常数. 证明: 令 ψ(x) = y(x) − y1(x), φ(x) = y2(x) − y1(x), 容易验证 dψ dx + p(x)ψ(x) = 0, dφ dx + p(x)φ(x) = 0. 因此存在常数 k1, k2 6= 0 使得 ψ(x) = k1 exp(− Z x x0 p(t)dt), φ(x) = k2 exp(− Z x x0 p(t)dt), 其中 x0 ∈ R. 从而 y(x) − y1(x) y2(x) − y1(x) = ψ(x) φ(x) = k1 k2 = C, 这里 C = k1 k2 为一常数
