第七章实数的完备性 81关实数完备性的基本定理 ,2闭区阊上函性质舶明
§1 关于实数完备性的基本定理 §2 闭区间上连续函数性质的证明 第七章 实数的完备性
第七章实数的完备性 §1关于实数完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理
区间套定理 °定义 设闭区间列ab具有如下性质 (an,b][an+i, bn+, n=1 (ii) lim(bn -an)=0 n→0 则称{an,bn为闭区间套简称区间套 说明: 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式 a1≤a2s…≤an≤…≤bn≤…≤b2sb
说明: •定义 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式: 设闭区间列{[ , ]}具有如下性质: an bn ( ) [ , ] [ , ], 1,2, ; i an bn an+1 bn+1 n = L ( ) lim( - ) = 0, → n n n ii b a 则称{[ , ]}为闭区间套,简称区间套. an bn . a1 a2 an bn b2 b1 L L L 一 区间套定理
定理(区间套定理) 若{anbn是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点5, 使得5∈[an,bn],n=1,2,…即an≤5≤bn,n=1,2,… °定理的几何意义 区间套定理的几何意义是:有一列闭线段(两个端点也属于此 线段后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0 为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点 [[[[[[[[[[[[·]]]]]]]]→
•定理 (区间套定理) •定理的几何意义 区间套定理的几何意义是:有一列闭线段(两个端点也属于此 线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0 为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点 若{[a ,b ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点x , n n [a ,b ],n =1,2,L. n n 使得x a b ,n =1,2,L. n n 即 x x •
●定理的证明 由区间套定义知n內递增有界数列, 依单调有界定理{n极限,且有an≤5,n=12,… 同理,递减有界数列池有极限,并按区间套的条件(1)有 imb=1iman=5,且bn25,n=12,… 从而有an≤5≤bn,n=1,2 下面证明满足题设条件的5是唯一的 设5也满足an≤5≤bn,n=1,2,…
•定理的证明 由区间套定义知{an }为递增有界数列， 依单调有界定理，{an }有极限x， a ，n =1,2,L. n 且有 x 同理，递减有界数列{bn }也有极限，并按区间套的条件(ii)有 lim = lim = x , → → n n n n b a b ，n =1,2,L. n 且 x a b ，n =1,2,L. n n 从而有 x 下面证明满足题设条件的x是唯一的. , 1,2, , 设x '也满足an x ' bn n = L
则5-5|≤bn-an,n=12… 由区间套定义(i)得 则5-5 (6-an)=0 m-200 故有5=5 证毕 °推论 若∈[a,bn=1,2,)是闭区间套{an所确定的点,则 VE>0,N∈N,Vm>N,有[an,bn]cU(2;E) 说明: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
, 1,2, . 则x -x ' bn - an n = L 由区间套定义(ii)得 lim( ) 0, ' - - = → n n n 则x x b a . ' 故有 x = x 证毕. •推论 若x [a,b](n =1,2,)是闭区间套{[an ,bn ]} 所确定的点， 则 0, N N , n N, [a ,b ] U(x; ). + 有 n n 说明: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
二聚点定理 定义 设S为数轴上的点集,为定点,(它可以属于S,也可以不属于S 若2的任何邻域内都含有S中无穷多个点则称为S的聚点 说明: 若存在各项互异的收敛数{xn}<S,则其极限 lim x=5称为S的聚点
二 聚点定理 •定义 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S 若 x 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点,则称 x 为 S 的聚点. 说明: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 S 的聚点. S x S x x (x; ) , 。 U 说明: 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点. {xn } S = x → n n lim x S
定理( Weierstrass点定理) 实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点 定理的证明 因S为有界点集,故M>0,使得ScMM记a,b]=MM 现将a1b等分为两个区间,因S为无限点集,故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2]则 a1,b]→{a2,b2l,且b2-a2=(b1-a1)=M 2 将a2b2等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点,记其为a3,b3则 M a2,b2]→[a3,b3,且b3-a3=-(b2-a2)
S ， M 0, S [-M,M], [a ,b ] [-M,M] 因 为有界点集 故 使得 记 1 1 = •定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. •定理的证明 现将[a1 ,b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点， 记此子区间为 [a 2 ,b2 ],则 ( ) . 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 1 1 2 2 且 b2 - a2 = b1 - a1 = M 将[a 2 ,b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点， 记其为[a3 ,b3 ],则 . 2 ( ) 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 2 2 3 3 3 3 2 2 M 且 b - a = b - a =
无限进行,则得区间列{an,bn]}满足 anbn]→lant2b 1三 M 2分→>0,(n→>∞) 即{an,bn]}是区间套,且其中每个闭区间都含有S中无穷多外点 由区间套定理及推论, ∈[an,bn=12…,VE>0,3N>0,n>N有an,bh]cU() U(2,E内含有S中无穷多个点, 从而为S的一个聚点 证毕 推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列
无限进行， 则得区间列{[an ,bn ]},满足 [a ,b ] [a ,b ], 1,2, , n n n+1 n+1 n = L 0, ( ), 2 - = -1 → n → M b a n n n {[a ,b ]} ， S . 即 n n 是区间套 且其中每个闭区间都含有 中无穷多外点 由区间套定理及推论， [a ,b ], 1,2, , 0, 0, [ , ] ( ; ). n n x n N n N a b U x = L 有 n n 即U(x;)内含有S中无穷多个点， 从而x为S的一个聚点. 证毕. •推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列
三有限覆盖定理 定义 设S为数轴上的点集,H为开区间的集合(即H的每一个 元素都是形如(a,B)的开区间)若S中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称为S的一个开覆盖,或简称H覆盖S 若H中开区间的个数是无限(有限)的,则称H为S的一个 无限(有限)开覆盖 定理( Heine-Borele有限覆盖定理) 设H为闭区间[a,b的一个(无限)开覆盖,则从H中可 选出有限个开区间来覆盖[a,b
三 有限覆盖定理 •定义 若 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 为 的一个 无限(有限)开覆盖. H H S 设 为数轴上的点集, 为开区间的集合,(即 的每一个 元素都是形如 的开区间).若 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖 . S H S H H H S S (,) •定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,则从 中可 选出有限个开区间来覆盖 . H H [a,b] [a,b]
