第九章定积分 ★§1定积分的概念 ★§2牛顿一莱布尼兹公式 ★3完积分的性质 ★§4微积分学基本定理 ★§5定积分
§1 定积分的概念 §2 牛顿---莱布尼兹公式 §3 定积分的性质 §4 微积分学基本定理 §5 定积分的计算
第九章定积分 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\X\Y §1定积分概念
§1 定积分概念
引例曲边梯形面积 曲边梯形 由连续曲线y=f(x,直线X=a,X=b及Ⅹ轴所 围成的图形 y↑ y=f(x) 怎样求面积呢?
一 .引例 曲边梯形面积 曲边梯形: 由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形 y=f(x) a 0 b x y 怎样求面积呢？
二问题的提出 面积问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x)(f(x)≥0) J x轴与两条直线x=a、 x=b所围成 我们有两个问题要解决,一个是给出面积的定 义,一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功 绩在于,用干净利索的方法解决了这一问题,并用 非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计 算问题
a b x y o A = ? 1 面积问题 曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 二 问题的提出 y = f (x) 我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定 义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功 绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用 非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计 算问题
思想方法(想象圆的面积的求法) (1)分割:将曲边梯形分成许多细长条 在区间[a,b]中任取若干分点 a=x<x1<x2<…<x1<x1<…<xn=1<xn=b 把曲边梯形的底[ab]分成n个小区间: 小区河x12x]的长度记为△x1=x1-x1(=1,2,3,…,n) 过各分点作垂直于x轴的直线段,把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形,其中第个小曲边梯形的面积记为△A 0 x X
思想方法（想象圆的面积的求法） （1）分割：将曲边梯形分成许多细长条 在区间[a,b]中任取若干分点： a = x0 x1 x2 xi−1 xi xn−1 xn = b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间： ( 1,2,3, , ) 小区间[xi−1 , xi ]的长度记为 xi = xi − xi−1 i = n 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 Ai x y 0 y=f(x) 0 a = x 1 x 3 x i−1 x i x n−1 x x b x2 n =
(2)取近似:将这些细长条近似地看作一个个小矩形 在第i个小曲边梯形的底x12x上任取一点5x1≤5≤x) 宅所对应的函数值是f(5)用相应的宽为Ax2长为(与)的小矩形 面积来近似代替这个小曲边梯形的面积,即Δ4,≈f(5)Ax =f(x) o a=xo x x2 xi-5iX b X
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形 i i i i i i i i i i i A f x f x f i x x x x − − ( ) ( ). , ( ) [ , ] ), 1 1 面积来近似代替这个小曲边梯形的面积，即 它所对应的函数值是 用相应的宽为 长为 的小矩形 在第 个小曲边梯形的底 上任取一点 （ x y 0 y=f(x) 0 a = x 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x x b ξｉ n = f(ξｉ)
(3)求和:小矩形的面积之和是曲边梯形面积的 个近似值 把n个小矩形的面积相加得和式∑f(5)Ax 之就是曲边梯形面积A的近似值,即A≈∑f(5)x =f(x) o a=xo x x2 xi-5iX b X
（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。 把n个小矩形的面积相加得和式 i n i i f x = ( ) 1 它就是曲边梯形面积A的近似值，即 ( ) . 1 i n i i A f x = x y 0 y=f(x) 0 a = x 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x x b ξｉ n = f(ξｉ)
(4)取极限:当分割无限肘,所有小矩形的面积之 和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。 分刹越细,∑f(5,)Ax就越接近于曲边梯形的面积A,当 小区间长度最大值趋近于秀,即‖Ax:‖0(‖Ax‖表示 这些小区间的长度最大者)时,和式∑f(5)Ax,的 板限就是A,即A=mn∑/()A 可见,曲边梯形的面积是一和式的极限 y=f( f(5 0 a=xo x, x2 xi-Six 1x.=b
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 小区间长度最大值趋近于零，即|| || 0（|| ||表示 i n i i f x = ( ) 1 i x i x i n i i f x = ( ) 1 这些小区间的长度最大者）时，和式 的 分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当 极限就是A，即 i n i i x A f x i = = → lim ( ) 1 || || 0 可见，曲边梯形的面积是一和式的极限 x y 0 y=f(x) 0 a = x 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x ξｉ xn = b f(ξｉ)
解决问题的基本思路:变“曲”为“直” 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 解决问题的基本思路：变“曲”为“直
曲边梯形如图所示,在区间[a,内插入若干 个分点,a=x<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间[a,b分成n 个小区间[x21,x 长度为△x1=x1-x1 在每个小区间[x1,x 上任取一点 o a xi xi-5xi xn-bt 以[x:1,x:为底,f(2)为高的小矩形面积为 A1=∫(5;)△x
曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， = n− n = 在区间 内插入若干 a b x y o i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为