第八章不定积分 ★1不定积分的概念与基本积分公式 kS2换亓积分法与分部积分法 §3有理函数和可化为有理函数的不定积分
§1不定积分的概念与基本积分公式 §2 换元积分法与分部积分法 §3有理函数和可化为有理函数的不定积分 第八章 不定积分
第八章不定积分 §1不定积分的概念与基本积分公式
§1不定积分的概念与基本积分公式 第八章 不定积分
●●●● ●●● ●●●● ●●●● 在第三章我们研究了已知f,如何求f的导数 〃的表达式,得到了一些计算法则,例如: (f+g)′=f+g fg)′=fg+fg’, (f[o])′=f[q]p′ 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式, 我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若f 为初等函数,f的表达式能求出
在第三章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式，得到了一些计算法则，例如： (f + g) = f + g , (f g) = f g + f g , (f []) = f [] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为初等函数， f 的表达式能求出
●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●● 我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。 问题:在已知f的表达式时,f的表达式是 什么形式呢? 即是,已知函数∫的表达式,求∫的原函 数是什么
我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。 问题：在已知 f 的表达式时，f 的表达式是 什么形式呢？ 即是，已知函数 f 的表达式，求 f 的原函 数是什么
●●●● ●●● ●●●● ●●●● 本章主要内容: ●● 基本积分表 换元积分法 分部积分法 有理函数积分
. • 基本积分表 • 换元积分法 • 分部积分法 • 有理函数积分 本章主要内容：
原函数概念 定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为 f(x),即对任一x∈I,都有 F'(x=f(x)X dF(x)=f(x)dx 则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数。 例如,在区间(-∞,+∞)内,因为(sinx)=cosx, 所以sinx是cosx的一个原函数 提问 csx还有其它的原函数吗? 提示: cosx的原函数还有sinx+C
例如，在区间 (-, +)内，因为 (sin x)=cos x， 所以 sin x是 cos x的一个原函数。 提问： cos x还有其它的原函数吗？ 提示： cos x的原函数还有sin x+C。 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有 F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 • 原函数概念
原函数概念 定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为 fx),即对任一x∈,都有 F'(x)=fx)di dF(x)=f(x)dx 则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数 两点说明 1、如果F(x)是fx)的原函数,那么F(x)+C都是风x) 的原函数,其中C是任意常数 2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如 果(x)和F(x)都是fx)的原函数,则qx)-F(x)=为 某个常数)
两点说明： 2、f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数，即如 果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数，则(x)-F(x)=C (C为 某个常数)。 1、如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)+C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有 F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 • 原函数概念
不定积分的概念 1.定义:设为某区间,称f(x)在上的原函数的 全体为()在上的不定积分,记作∫(x)d f(dx (3) 积分号被积函数积分变量 注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数 的微分。 注2符号f(x)dx与f(x)dx差别: 数 族函数
注2. 符号 与 差别： b a f (x)dx f (x)dx 不定积分的概念 1. 定义：设I为某区间，称f (x)在I上的原函数的 全体为f (x)在I上的不定积分，记作 f (x)dx f (x)dx 积分号 被积函数 积分变量 注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分。 数 一族函数 (3)
定理1.设F(x)是f(x)在区间上的一个原函数,则 f(xdx= F(x)+c (4) 其中C为任意常数 y=F(x)+CI y=F(x)+C2 y=F(x) y=F(x)+C
定理1. 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则 f x x = F x +C ( )d ( ) (4) 其中C为任意常数 0 x0 y x y = F(x)+C1 y = F(x)+C2 y = F(x)+C3 y = F(x)+C4
如果F(x)是fx)一个原函数,则f(x)x=F(x)C 例1.因为sinx)=cosx,所以| cos xdx=sinx+C。 例2.因为(x)=32,所以j3xk=x2+C。 例3.求函数f(x)=-的不定积分。 解:当x>0时,(nx) dx=In x+C(x>0) 当x0时,p(x),=mx)+C(D 合并上面两式,得到「d=h|x|+C(x0
如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f (x)dx =F(x)+C。 当 x0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = + ln 1 解：当 x>0 时，(ln x) (x>0)； x 1 = ， dx x C x = + ln 1 (x>0)； 当 x0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = + ln 1 解： (x>0)；