第12讲Hahn- Banach延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论, 授课要点 1、实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、复空间线性泛函的控制延拓定理 保范延拓定理。 4 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说,对它上面的线性泛函知道得越多, 对这个空间本身就了解得越多(参见第9讲思考题1).有时候为了 某种目的,要求有满足一定条件的线性泛函存在,Hahn- Banach定理 为这样的线性泛函的存在提供了保证 定义1设D(T)与D(T)分别是算子T与T的定义域,若 D(T<D(7),并且Tx=x,Wx∈D(),则称算子T是T的延拓 定义2线性空间X上的实泛函p(x)称为是次可加的,若 P(x+y)≤P(x)+P(y),xy∈X 称为是正齐性的,若 P(ax)=ap(x),Vx∈x,a≥0 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函 定理1(Hahn- Banach)设X是实线性空间,p:X→R是X 上的正齐性次可加泛函,McX是线性子空间,则 (1)对于M上定义的每个线性泛函f,存在f从M到X的延
1 第 12 讲 Hahn－Banach 延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。 授课要点 1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、 保范延拓定理。 4、 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多， 对这个空间本身就了解得越多（参见第 9 讲思考题 1）. 有时候为了 某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn－Banach 定理 为这样的线性泛函的存在提供了保证. 定 义 1 设 D T( ) 与 D T( 1 ) 分别是算子 T 与 T1 的定义域，若 DT DT ( ) ⊂ ( 1 ) ，并且 1 T x Tx = , ∀ ∈x D T( ) ，则称算子 T1是 T 的延拓. 定义 2 线性空间 X 上的实泛函 p ( x)称为是次可加的，若 p ( ) x y px py +≤ + ( ) ( ) ， ∀x, y X ∈ 称为是正齐性的，若 p ( ) α α x px = ( ) ， ∀x∈ X ， α ≥ 0 . 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函. 定理 1（Hahn－Banach） 设 X 是实线性空间， p : X R → 是 X 上的正齐性次可加泛函， M ⊂ X 是线性子空间，则 （1）对于 M 上定义的每个线性泛函 0f ，存在 0f 从 M 到 X 的延
拓∫:X→R, f(x)=6(x),Vx∈M (2)若f(x)≤p(x),x∈M,可选取∫满足 f(x)≤p(x),Wx∈x 证明设M≠X,取x∈HNM,记M'=span{x,M},则 vx'∈M",x=x+t,其中x∈M,t∈R.此分解式是唯一的,否 则另有x=x1+1x,x∈M,则x-x1=-(t-1)x,若1≠t,则 x=x-∈M,与x的取法矛盾,于是t=,并且x=x1 对于任何常数C,令 f(x)=fo(x)+Ic, Vx'=x+txo 则容易验证∫是M'上的线性泛函.实际上∫是∫6从M到M的延 拓,因为当x'∈M时,t=0,从而f(x)=f(x) 2我们将证明当x∈M,J6(x)≤P(x)时,适当选择c,可使 f(x)≤P(x),wx'∈M 实际上Vx,y∈M,由于 J6(x)+f6()=6(x+y)≤p(x+y) ≤p(x-x)+p(x0+y fo(x)-P(x-xosP(xo+y)-fo() 故存在c满足 sup[6(x)-p(x-x)≤c rEM [p(x+y)-6(y)
2 拓 f ： X → R ， f ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀x∈ M （2）若 f0 () () x px ≤ ， ∀x∈ M ，可选取 f 满足 f ( ) x px ≤ ( ) ， ∀x∈ X (1) 证 明 1 D 设 M ≠ X ，取 0 x ∈ X M\ ，记 M ' = span {x0 , M}，则 ∀ ∈x′ ′ M ， 0 x′ = +x tx ，其中 x∈ M ， t R ∈ . 此分解式是唯一的，否 则另有 1 10 x′ = x tx + ， 1 x ∈ M ， 则 x − =− − x ttx 1 10 ( ) ， 若 1 t t ≠ ， 则 1 0 1 x x x t t − = − ∈ M ，与 0 x 的取法矛盾，于是 1 t t = ，并且 1 x = x . 对于任何常数 c ，令 f ( ) x f x tc ′ = + 0 ( ) ， 0 ∀x′ = +x tx . 则容易验证 f 是 M ′ 上的线性泛函. 实际上 f 是 0f 从 M 到 M ′ 的延 拓，因为当 x′∈ M 时， t = 0，从而 f ( x fx ′) = 0 ( ). 2D 我们将证明当 ∀ ∈x M ， f0 ( x px ) ≤ ( ) 时，适当选择 c ，可使 f ( ) x px ′ ′ ≤ ( ) ， ∀ ∈x′ ′ M . 实际上 ∀ ∈ x, y M ，由于 f00 0 () () x f y f x y px y + = +≤ + ( ) ( ) ≤ −+ + p ( x x px y 0 0 ) ( ) ， 即 f0 00 0 () ( ) x px x px y f y − − ≤ +− ( ) ( ) ， 故存在 c 满足 sup 0 0 () ( ) x M f x px x c ∈ −−≤ inf ( 0 0 ) ( ) y M p x y fy ∈ ≤ +− ， ( ) 2
我们将取这样的c作成所要的线性泛函 此时若x=x+x0,1>0,由P(x+y)-J6(y)2c对于每个y∈M 成立,用(x代替y,则 p(x+r2x)-6(r-x)≥c, 从而 f(x)=f(x)+tcsp(x+to=p(x') 若x=x+,t<0,由f6(x)-p(x-x)≤c对于每个x∈M成 立,用-x代替x,则 f6(-rx)-p(-rx-x)≤ 即-f6(x)+P(x+D0)≥C.从而 f(x)=fo(x)+tcsp(x+txo=P() 当t=0时,显然f(x)=f6(x)<P(x)=P(x).故∫是后从M到 M上满足(1)的延拓。 3°现在让我们应用Zorn引理完成定理的最后证明 设G是f6的所有延拓的集合,即对于每个g∈G, (1)g在X的子空间M8上有定义,McM8 (2)Vx∈M,g(x)=6(x), (3)g(x)≤p(x),x∈M 在G中规定半序:g≤8′当且仅当M∈Mg,并且 g(x)=g(x)(x∈Mx),容易验证,G确实是半序集 若G是G的全序子集,令M=∪M,当x∈M时,定义 h(x)=g(x)由于G0是全序的,M为线性子空间:例如当x,x∈M 时,若x∈M,x∈Mg,不妨设M8∈M2,则ax+Bx∈McM 此时
3 我们将取这样的 c 作成所要的线性泛函. 此时若 0 x′ = +x tx ，t＞0 ，由 p ( x y fy c 0 0 + ) − ≥ ( ) 对于每个 y M∈ 成立，用 1 t x − 代替 y ，则 ( ) ( ) 1 1 0 0 p x tx f tx c − − + − ≥ ， 从而 f ( ) x f x tc p x tx p x ′ ′ = +≤ + = 0 0 ( ) ( ) ( ). 若 0 x′ = +x tx ， t < 0 ，由 f0 0 ( x px x c ) − ( − ≤) 对于每个 x∈ M 成 立，用 1 t x − − 代替 x ，则 ( ) ( ) 1 1 0 0 f tx p tx x c − − − −− − ≤ ， 即 − + +≥ f0 0 () ( ) x p x tx tc . 从而 f ( x f x tc p x tx p x ′ ′ ) () = +≤ + = 0 0 ( ) ( ). 当 t = 0时，显然 f ( ) x f x px px ′ = = 0 ( )＜ ( ) ( ′). 故 f 是 0f 从 M 到 M ′ 上满足 (1) 的延拓。 3D 现在让我们应用 Zorn 引理完成定理的最后证明. 设 G 是 0f 的所有延拓的集合，即对于每个 g G∈ ， （1） g 在 X 的子空间 M g 上有定义， M ⊂ M g ， （2） ∀ ∈x M ， gx f x ( ) = 0 ( ) ， （3） gx px () () ≤ ， g x∈ M . 在 G 中规定半序： g g ≤ ′ 当且仅当 M g ⊂ M g′ ，并且 gx g x ( ) = ′( ) ( ) g x∈ M ，容易验证， G 确实是半序集. 若 G0 是 G 的全序子集，令 j 0 g g G M M ∈ = ∪ ， 当 g x∈ M 时，定义 hx gx () () = . 由于 G0是全序的， M j 为线性子空间：例如当 x, x M ′∈ j 时，若 g x∈ M ， g ' x′∈ M ，不妨设 M g ⊂ M g ' , 则 j g α β x +∈⊂ xM M ′ ′ ， 此时
(ax+ Bx)=g(ax+Bx=ag(x)+Bg(r,) (x)+ Bh() h是线性泛函显然MCM并且当x∈M时,h(x)=g(x)=6(x) 此外若x∈M,不妨设x∈M2,则h(x)=g(x)≤P(x),从而h∈G, h≥g(vg∈G),h是G0的上界 根据Zorn引理,G有极大元∫,∫即是定理中所需要的延拓.为 此只需证明M/=X.如若不然,必存在x∈\My,由1有∈G, M=span{x,M},M≠M,故广≥∫,∫≠∫,这与∫为极大元 矛盾 现在我们转到复空间上的线性泛函∫.不妨设 f(x)=f(x)+2( 其中f,f2分别是∫的实部和虚部,根据∫的线性,容易验证f1,是 实线性泛函.又由∫的复线性以及实际计算得到 j(x)=f(x)=f(x)+n2(x), (x)=if(x)-f2(x) 从而(x)=-f(x),故 由此知道,复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来 但应注意,对于实线性泛函A,一般来说f(ix)≠f(x) 定理2设X是复线性空间,P是X上的半范数.若M是X的 线性子空间,f是M上的复线性泛函,满足 6(x)≤P(x),wx∈M 则存在X上的线性泛函F,使得 F(x)=f0(x),Vx∈M
4 h x x g x x gx gx (αβ αβ α β += += + ′ ′ ′ ′′ ) '( ) ( ) ( ) = + α β hx hx ( ) ( ′) , h 是线性泛函. 显然 M ⊂ M j 并且当 x∈ M 时， ( ) ( ) () 0 hx gx f x = = . 此外若 x∈ M j ，不妨设 g x∈ M ，则 hx gx px ( ) = ≤ ( ) ( ) ，从而 h G∈ ， h g ≥ ( ) 0 ∀ ∈g G ， h 是 G0的上界. 根据 Zorn 引理，G 有极大元 f ， f 即是定理中所需要的延拓. 为 此只需证明 . M f = X 如若不然，必存在 0 \ f x ∈ X M ，由1 D 有 f ′∈G ， M f ′ = span 0 { , }, x M M ′ f f ≠ M ，故 f ′ ≥ f , f ′ ≠ f ，这与 f 为极大元 矛盾. 现在我们转到复空间上的线性泛函 f . 不妨设 f ( x f x if x ) = + 1 2 ( ) ( ) ， 其中 1 2 f , f 分别是 f 的实部和虚部，根据 f 的线性，容易验证 1 2 f , f 是 实线性泛函. 又由 f 的复线性以及实际计算得到 if x f ix f ix if ix ( ) ==+ ( ) 1 2 ( ) ( ) ， if x if x f x ( ) = − 1 2 ( ) ( ). 从而 f2 1 () ( ) x f ix = − ，故 f ( ) x f ix if ix = − 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 由此知道，复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来. 但应注意，对于实线性泛函 1f ，一般来说 f1 1 (ix if x ) ≠ ( ). 定理 2 设 X 是复线性空间， p 是 X 上的半范数. 若 M 是 X 的 线性子空间， 0f 是 M 上的复线性泛函，满足 f0 ( ) x px ≤ ( ) ， ∀x∈ M ， 则存在 X 上的线性泛函 F ，使得 F ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀x∈ M
F(x)sp(x),Wx∈X 证明在M上,设f6(x)=f(x)-(x),把M看成实线性子 空间(同样的,把X看成实线性空间),由假设 f(x)3f(xso(x)sp(),WxEM 由定理1,存在实线性泛函F1:X→>R,使得 F(x)=fo F(x)≤P(x),Vx∈ 考虑复泛函F(x)=F(x)-iF(ⅸx),由于 F(x+y)=F(x+y)-iF(ix+iy) F(x)+F()-iF()-iF(iy) =F(x)+F(y),Vx,y∈X 若a为实数 F(ax =F(ax)-iF (iax)=aF()-aiF(ix)=aF(x) (ix) =F(ix)-iF (x)=iF (x)-iF(ix)=iF() 由此,对于任意复数a,B与任意x,y∈X F(ax+By)=aF(x)+BF(y) F是复线性的.若x∈M,则 (x)=F(x-iF(ix)=f(x)-if(ix)=fo(x) 故F是f的延拓若设F(x)=P",则F(ex)=r为实数,此时 F()=F("x)-F(e)sp("x)=p(x) F(x)即是所要求的复线性泛函 定理3设X是(实或复)线性赋范空间,McX是线性子空 间,f是M上的连续线性泛函.则存在X上的线性泛函∫,使得
5 Fx px ( ) ≤ ( ) ， ∀x∈ X . (3) 证 明 在 M 上，设 f0 11 ( x f x if ix ) = − ( ) ( ) ，把 M 看成实线性子 空间（同样的，把 X 看成实线性空间），由假设 f11 0 () () x f x f x px ≤≤≤ ( ) ( ) ， ∀x∈ M ， 由定理 1，存在实线性泛函 1 FX R : → ，使得 F1 1 ( ) x fx = ( )， ∀x∈ M ， F1 () () x px ≤ ， ∀x∈ X . 考虑复泛函 F ( ) x F x iF ix = − 1 1 ( ) ( )，由于 F ( ) x y F x y iF ix iy += +− + 1 1 ( ) ( ) =+− − F11 1 1 ( x F y iF ix iF iy ) ( ) ( ) ( ) = + F ( x Fy ) ( ) ， ∀x, y X ∈ 若 α 为实数， F (αx F x iF i x ) () = − 1 1 α α( ) = − α α F1 1 ( x iF ix ) ( ) =αF ( ) x 又 F (ix F ix iF x ) () = −− 1 1 ( ) =− = iF x iF ix iF x 1 1 ( ) ( ) ( ) 由此，对于任意复数 α,β 与任意 x, y X ∈ ， F (αβ α β x y Fx Fy += + ) ( ) ( ) F 是复线性的. 若 x∈ M ，则 F ( x F x iF ix f x if ix f x ) () =− =− = 1 1 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 故 F 是 0f 的延拓. 若设 ( ) i F x re θ = ，则 ( ) i Fe x r − θ = 为实数，此时 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) i ii F x Fe x F e x pe x px − −− θ θθ = = ≤= . F ( ) x 即是所要求的复线性泛函. 定理 3 设 X 是（实或复）线性赋范空间， M ⊂ X 是线性子空 间， 0f 是 M 上的连续线性泛函. 则存在 X 上的线性泛函 f ，使得
f(x)=6(x),x∈M,‖f=6 (称∫是」的保范线性延拓) 证明令P(x)=|,p(x)是X上的半范数并且 J6(x)=6Nx=p(x),Wx∈M 在复空间情况,由定理2,存在X上的线性泛函∫,使得 f(x)=后(x),x∈M,并且 J(x)≤p(x)=,wxex 在实空间情况,由定理1,存在X上的线性泛函∫使得 ±f(x)≤p(±x)=pP(x)=|f,x∈x 从而f(x)≤G,fs,f连续另一方面, Ill=sup o() ≤.sup|f(x)=|f‖ 总之,f=|fG 注意,(5)说明了任一线性泛函(或算子)延拓后范数不会减少 推论1设X是线性赋范空间,x∈X,x0≠0,则存在f∈X ‖fl=1,f(x)=|x 证明考虑子空间M={axa∈和M上的线性泛函 f6(ax)=a|xl,f在M上连续,实际上,对于x=ax, Jo(x)=o(axo)=1all-oll=x 所以l=1.又显然f6(x)=|x,由定理3,存在f∈x,‖f=1 当x∈M时f(x)=(x),特别地,f6(x)=f0(x)=|xl 推论2设X是线性赋范空间,x,x2∈X,x≠x2,则存在
6 f ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀x∈ M ， 0 f = f . (4) （称 f 是 0f 的保范线性延拓）. 证 明 令 ( ) 0 p x fx = ， p ( x)是 X 上的半范数并且 f0 0 ( ) x f x px = = ( ) ， ∀x∈ M 在复空间情况，由定理 2 ，存在 X 上的线性泛函 f ，使得 f ( ) x fx = 0 ( ) ， ∀ ∈x M ，并且 ( ) ( ) 0 f x px f x ≤ = ， ∀x∈ X 在实空间情况，由定理 1，存在 X 上的线性泛函 f 使得 () ( ) 0 ± ≤ ± = = ∀∈ f x p x px f x x X () , . 从而 ( ) 0 f x fx ≤ ， 0 f ≤ f ， f 连续. 另一方面， 0 0 ( ) ( ) 1, 1, sup sup x xM x xM f f x fx ≤∈ ≤∈ = = ( ) 1, sup x xX f x f ≤ ∈ ≤ = ， ( ) 5 总之， 0 f = f . 注意， ( ) 5 说明了任一线性泛函（或算子）延拓后范数不会减少。 推论 1 设 X 是线性赋范空间， 0 x ∈ X ， 0 x ≠ 0，则存在 f X ∗ ∈ 使得 f =1， ( ) 0 0 f x x = . 证 明 考虑子空间 M x = {α α0 ; ∈Φ} 和 M 上的线性泛函 f00 0 ( ) α α x x = ， 0f 在 M 上连续. 实际上，对于 0 x =αx , f0 00 0 ( ) x fx x x = == ( ) α α ， 所以 0f =1. 又显然 f00 0 ( ) x x = ，由定理 3，存在 f X ∗ ∈ ， f =1. 当 x∈ M 时 () () 0 f x fx = ，特别地， f0 00 0 ( x fx x ) = = ( ) . 推论 2 设 X 是线性赋范空间， 1 2 x , x X ∈ ， 1 2 x ≠ x ，则存在
∫∈X",f(x)≠∫(x2) 证明由x-x2≠0,根据推论1,存在∫∈X”, |x-x≠0,故f(x)≠f(x) 从直观上说,推论1表明,对于一个非零线性赋范空间,一定存 在非零连续线性泛函.推论2则表明非零连续线性泛函是足够多的, 以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来.有时简 单的说,X在X上可以区分点 推论3设X是线性赋范空间,x1,x∈X,若对于任何f∈X f(x)=f(x2),则x=x2 这是由推论2的逆否命题 推论4设X为线性赋泛空间,x∈X,则 xo l=sulfo(x)I 证明首先由s1,则 于是sup(x)=|1.再由推论1,存在f∈x,‖=1, vIsI f6(x)=1|xl,故 supJo( 从而等式(5)成立
7 f X ∗ ∈ ， () ( ) 1 2 f x fx ≠ . 证 明 由 1 2 x x − ≠ 0 ，根据推论 1 ，存在 f X ∗ ∈ ， ( ) 12 12 fx x x x − =−≠ 0 ，故 f ( x fx 1 2 ) ≠ ( ). 从直观上说，推论 1 表明，对于一个非零线性赋范空间，一定存 在非零连续线性泛函. 推论 2 则表明非零连续线性泛函是足够多的， 以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来. 有时简 单的说， X ∗ 在 X 上可以区分点. 推论 3 设 X 是线性赋范空间， 1 2 x , x X ∈ ，若对于任何 f X ∗ ∈ ， f ( ) x fx 1 2 = ( ) ，则 1 2 x = x . 这是由推论 2 的逆否命题. 推论 4 设 X 为线性赋泛空间， 0 x ∈ X ，则 0 0 ( ) 1 sup f x f x ≤ = . ( ) 6 证 明 首先由 f ≤1，则 f0 0 ( x fx ) ≤ 0 ≤ x ， 于 是 0 0 ( ) 1 sup f f x x ≤ ≤ . 再由推论 1 ，存在 f X ∗ ∈ ， f =1 ， f0 0 ( ) x x = ，故 0 0 ( ) 1 sup f x f x ≤ ≤ , 从而等式 ( ) 5 成立