第三章共轭空间与共轭算子 线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛 函分析中内容丰富的论题.共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一 种新空间,而且提供了认识原空间的新工具.特别是由此派生了强拓 扑、弱拓扑乃至弱*拓扑的概念.有界算子与它的共轭算子的关系也 是如此.本章将首先把共轭空间具体化一一给出共轭空间的表现,然 后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱·收敛概念及其性质,讨 论共轭算子和紧算子的性质,最后阐述自反空间和一致凸空间的特殊 性质 第15讲共轭空间及其表现 教学目的 掌握常用空间的共轭空间的具体表现形式及其应用 授课要点 1空间(1P)*=1,1≤p<∞,-+-=1 2空间(LP)*=C,1≤p<,-+-=1 3空间Cab]*=V[a,b] 前面已讲过,对于任一线性赋范空间X,X的共轭空间X”是 Banach空间.对于每个∫∈X,我们有 f sup 对于每个x∈X,又有
1 第三章 共轭空间与共轭算子 线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛 函分析中内容丰富的论题.共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一 种新空间，而且提供了认识原空间的新工具. 特别是由此派生了强拓 扑、弱拓扑乃至弱*拓扑的概念. 有界算子与它的共轭算子的关系也 是如此. 本章将首先把共轭空间具体化——给出共轭空间的表现，然 后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱 ∗ 收敛概念及其性质，讨 论共轭算子和紧算子的性质，最后阐述自反空间和一致凸空间的特殊 性质. 第 15 讲 共轭空间及其表现 教学目的 掌握常用空间的共轭空间的具体表现形式及其应用。 授课要点 1 空间 1 1 ( )* ,1 , 1. p q llp p q = ≤ <∞ + = 2 空间 1 1 ( )* ,1 , 1. p q LLp p q = ≤ <∞ + = 3 空间 0 Cab V ab [ , ]* [ , ]. = 前面已讲过，对于任一线性赋范空间 X ， X 的共轭空间 X ∗ 是 Banach 空间. 对于每个 f X ∗ ∈ ，我们有 ( ) 1, sup , x xX f f x ≤ ∈ = （1） 对于每个 x X ∈ ，又有
(2) VlsI,EX 这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之间的对偶关系.当 然,作为线性赋范空间,X也存在共轭空间,记为X”,称X”为X 的二次共轭空间,类似地还有X“等等 在对共轭空间及其有关性质作进一步研究之前,我们需要对它 的抽象形式做一番直观化的工作,我们记得,在第一章中曾经叙述过 两个线性赋范空间的等距同构概念,等距同构的两个空间除了符号不 同之外,在结构上无法区别.在这种意义上我们也称两个空间相等 在研究抽象空间的时候,有时我们不去研究这个空间本身,而是去研 究一个与之等距同构的具体空间,后者称为前者的表现,同时也称具 体空间的每个元素是抽象空间对应元素的表现 例如,在第二章第1讲中我们已经知道Φ"上的线性泛函的一般 形式是 ∫(x)=ax+…+anxn,x=(x2…,x)∈Φ(3) 其中a1…an是n个标量.不同的∫对应有不同的n数组(a,…an) 直接计算可以求出M-∑a.若将上的线性泛函厂与 中的点(a1…,an)对应起来,则(④)与Φ之间可以建立一一对应 并且这种对应是到上的等距同构.这样一来,(Φ”)中的元素可以通 过一个n数组表现换句话说,本身就是(4)的表现在这种意 义下我们说()= 现在让我们看一些进一步的例子
2 ( ) 1, sup . f fX x f x ∗ ≤ ∈ = （2） 这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之间的对偶关系. 当 然，作为线性赋范空间， X ∗ 也存在共轭空间，记为 X ∗∗ ，称 X ∗∗ 为 X 的二次共轭空间，类似地还有 X ∗∗∗ 等等. 在对共轭空间及其有关性质作进一步研究之前， 我们需要对它 的抽象形式做一番直观化的工作. 我们记得，在第一章中曾经叙述过 两个线性赋范空间的等距同构概念，等距同构的两个空间除了符号不 同之外，在结构上无法区别. 在这种意义上我们也称两个空间相等. 在研究抽象空间的时候，有时我们不去研究这个空间本身，而是去研 究一个与之等距同构的具体空间，后者称为前者的表现，同时也称具 体空间的每个元素是抽象空间对应元素的表现. 例如, 在第二章第 1 讲中我们已经知道 n Φ 上的线性泛函的一般 形式是 ( ) 1 1 n n f x ax a x = ++ " ， ( 1, , ) n n ∀xx x = ∈Φ " （3） 其中 1, , n a a " 是 n 个标量. 不同的 f 对应有不同的 n 数组 (a a 1, , " n ). 直接计算可以求出 1 2 2 1 n i i f a = = ∑ . 若将 n Φ 上的线性泛函 f 与 n Φ 中的点 ( ) 1, , n a a " 对应起来，则 ( ) n ∗ Φ 与 n Φ 之间可以建立一一对应， 并且这种对应是到上的等距同构. 这样一来， ( ) n ∗ Φ 中的元素可以通 过一个 n 数组表现. 换句话说， n Φ 本身就是 ( ) n ∗ Φ 的表现. 在这种意 义下我们说 ( ) n n ∗ Φ =Φ . 现在让我们看一些进一步的例子
定理1()= 证明1°对于每个a=(a,a2…)∈P,定义 f(x)=∑axn,Vx=(x)∈ f是上的线性泛函,并且 1(x)∑|sp>!=p 从而/ supla|=l 2反之,若fe(),取=10…01 n≥1,易知 en∈l.令an=∫(en),首先 a/ le=f.若令a=(a,a2…) 则a∈P"并且|L= supla, s任取x=(x)∈P,设x=∑xe 则 →)∞ 由∫的连续性 f(x)=lim/(ro)=lim 2x/(e)=2a, ns 这说明式(4)是7上线性泛函的一般形式 3°令T:()→P,m=a.由1,T是到上的线性映射r与 2-起说明L=l=/,v(P).从而T是一一映射,()与
3 定理 1 ( ) 1 l l ∗ ∞ = . 证明 1° 对于每个 ( ) 1 2 a aa l , , ∞ = ∈ " ，定义 ( ) 1 n n n f x ax ∞ = = ∑ ， ( ) 1 n ∀x = ∈ x l . ( ) 4 f 是 1 l 上的线性泛函，并且 ( ) 1 1 1 sup nn n n n n n f x ax a x ∞ ∞ = = ≥ ≤ ≤ ∑ ∑ 1 sup . n n a x ≥ = 从而 sup n n f a a ∞ ≤ = . 2° 反之，若 ( ) 1 f l ∗ ∈ ， 取 0, ,0,1,0, n n e = " " ， n ≥1，易知 1 n e l ∈ ． 令 a fe n n = ( ) ，首先 n n a fe f ≤ = ．若令 a = (a a 1 2 , ,") ， 则 a l ∞ ∈ 并且 sup n n a af ∞ = ≤ . 任取 ( ) 1 i x = x l ∈ ，设 ( ) 1 n n i i i x x e = = ∑ ， 则 ( ) ( ) 1 0 . n i i n xx x n ∞ = + − = → →∞ ∑ 由 f 的连续性 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim , n n i i nn n n i n f x f x xf e ax ∞ →∞ →∞ = = == = ∑ ∑ 这说明式 ( ) 4 是 1 l 上线性泛函的一般形式. 3° 令 ( ) 1 Tl l : ∗ → ∞ ，Tf = α ．由 1°，T 是到上的线性映射. 1 D 与 2D 一起说明 Tf a f ∞ ∞ = = ， ( ) 1 f l ∗ ∀ ∈ .从而 T 是一一映射，( ) 1 l ∗ 与
r等距同构,即()=° 类似地可以证明()=F(1<p<∞,p-+q=1),此外用类似的 方法还可以证明c=l,cn=l 根据Hahn- Banach定理(见本节开头提到的式子),我们有 up∑anx 这里a=(an)∈P 定理2[=[a1(<p<∞p2+q-=) 证明1°对于每个a()∈I"[ab],定义 (x)=x(a(n dt, Va( ELp [a, b] ∫是LP[a6]上的线性泛函,由 Holder不等式, 故f≤|l‖ 2°若v∈L[a6,令x=x为[小的特征函数,并且记 f(x)=g(x).对于[a]中的任一组区间[a,b], a≤a1<b1≤…≤an<bn≤b, 记E=(g(b)-g(a)g()-g(a)(当g(b)-g(a)=0时 E,=0),则
4 l ∞ 等距同构，即 ( ) 1 l l ∗ ∞ = . 类似地可以证明 ( ) ( ) 1 1 1, 1 p q l l p pq ∗ − − = ＜ ＜∞ += ，此外用类似的 方法还可以证明 1 c l ∗ = , 1 0 c l ∗ = . 根据 Hahn－Banach 定理(见本节开头提到的式子)，我们有 1 1 sup q p n n a n x a x ∞ ≤ = = ∑ ， ( ) p n ∀x = ∈ x l （5） 这里 ( ) q n aa l = ∈ . 定理 2 [ ] [ ]( ) * 1 1 , ,1 , 1 p q L ab L ab p p q − − = ∞ += ＜ ＜ . 证明 1°对于每个 ( ) [ , ] q a t L ab ∈ ，定义 ( ) () () b a f x x t a t dt = ∫ ， ( ) [ , ] p ∀ ∈ a t L ab . ( ) 6 f 是 [ , ] p L ab 上的线性泛函，由 Holder 不等式， ( ) () () b p q a f x x t a t dt x a = ≤ ∫ , 故 q f ≤ a . 2° 若 [ , ] p f L ab ∗ ∀ ∈ ，令 t [ ] a t, χ = χ 为 [a t, ] 的特征函数，并且记 f (χt ) = g x( ) . 对于 [ ] a b, 中的任一组区间 [a bi i , ], 1 1 n n aa b a b b ≤ ≤≤ ≤ ＜ ＜ " ， 记 ( ) () () () () 1 i i ii i ε gb ga gb ga − =− − （ 当 ( ) ( ) 0 i i gb ga − = 时 0 i ε = ），则
(()5( 所以当∑(b-a)很小时,∑g(b)-g(a)也很小,故g()是[ab 上的绝对连续函数.设g'(2)=a(t),-ae,a(t)可积,从而 g()=g(a)+Ja()dr,t∈[a小 但x=0,4-ae.故g(a)=f(x)=0,所以 g()=a(r)dr,t[a小 若x()是[a上的阶梯函数,x()=∑a(x-x),这里a∈中 Ln=b,则 (x)=∑a((x2)-f(x-) ∑a(g()-g(-) =∑aa()d 若x()是有界可测函数,不妨设x()≤M,t∈[a小]则存在阶梯函
5 () () ( ) () () 1 1 i i n n i i ib a i i gb ga f f εχ χ = = ∑ ∑ −= − ( ) 1 i i n ib a i p f εχ χ = ≤ − ∑ ( ) 1 1 . n p i i i f ba = = − ∑ 所以当 ( ) 1 n i i i b a = ∑ − 很小时， () ( ) 1 n i i i gb ga = ∑ − 也很小，故 g t( ) 是 [ ] a b, 上的绝对连续函数．设 g t at ′( ) = ( ) ， µ − a e. ， a t( ) 可积，从而 () ( ) ( ) t a gt ga a d = + τ τ ∫ ， t ab ∈[ , ] . 但 0 χ a = ， µ − a e. .．故 ( ) ( ) 0 a ga f = χ = ，所以 () ( ) t a gt a d = τ τ ∫ ， t ab ∈[ , ]． 若 x( )t 是 [a b, ] 上的阶梯函数， ( ) ( ) 1 1 i i n it t i xt a χ χ − = = − ∑ ，这里 i a ∈Φ ， 0 1 n at t t b = = ＜＜ ＜" ，则 ( ) ( ) () ( ) 1 1 i i n it t i fx a f f χ χ − = = − ∑ ( ) () ( ) 1 1 n ii i i a gt gt − = = − ∑ ( ) 1 1 i i n t i t i a a t dt − = = ∑ ∫ () () b a = x t a t dt ∫ . ( ) 7 若 x( )t 是有界可测函数，不妨设 x (t M ) ≤ ，t ab ∈[ , ]. 则存在阶梯函
数列xn(t), xn()≤M,t∈[ab],n=12… 并且xn()→x(),-ae,由 Lebesgue控制收敛定理, -4(()-ad→0 此外,x()a()→x()a(),-ae.并且 x,((a(0) sMa((),ae 故从式(7),令n→,由 Lebesque控制收敛定理得到 (x)=lmx,()()m=x()(d 即(7)对于有界可测函数成立 现在证明a()∈[a6].令 ()a(),若(o)"≤n 0, 若(>n 这里记%=0).x()是有界可测函数令E2=(k( 则一方面有 (x)s|=()a 另一方面, 6
6 数列 xn ( )t ， xn ( )t M≤ ， t ab ∈[ , ]， n = 1, 2,". 并且 xn () () t xt → ， µ − a e. . 由 Lebesgue 控制收敛定理， ( () () ) 1 0. b p p n n p a x x x t x t dt −= − → ∫ 此外， xn (tat xtat ) () () → ( ), µ − a e. . 并且 ( ) ( ) ( ) , .. n x t a t M a t ae ≤ 故从式 ( ) 7 ，令 n→∞，由 Lebesque 控制收敛定理得到 ( ) () () () () lim b b n n n a a f x x t a t dt x t a t dt →∞ = = ∫ ∫ . 即 ( ) 7 对于有界可测函数成立. 现在证明 ( ) [ , ] q a t L ab ∈ . 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 0, . q q n q at at at n x t at n − − − ≤ = ，若 若 ＞ （这里记 0 0 0 = ）． xn (t) 是有界可测函数. 令 { ( ) } 1 , q En tat n − = ≤ , 则一方面有 ( ) ( ( ) ) 1 . n q p nn E p f x f x f a t dt ≤ = ∫ 另一方面
f(x)=x.()l()=Jl()a 故 ∫()ds/o 即(r()s/,n是任意的,所以 〔poa)=0,a()∈g 最后,对于任意的x()∈L[a6 x(),x()≤n x(t>n 记B,={2()>n,则B的测度(B)→0 =(a)→0,n→ 从而 x,()a(ndt-5x(a(dr =,-xIl a 并且 /(x)=lim x, (a(dt=x((a()dt 这说明式(6)是LP[ab]上线性泛函的一般形式 3°定义T:L[ab→I{[ab],T=a.由以上证明知道T是到 上的等距同构,从而也是一一映射,故L[ab=L[ab]
7 ( ) () () () , n b q nn E a f x x t a t dt a t dt = = ∫ ∫ 故 ( ) ( ( ) ) 1 n n q q p E E a t dt f a t dt ≤ ∫ ∫ ， 即 ( ( ) ) 1 n q p E a t dt f ≤ ∫ ， n 是任意的，所以 ( ( ) ) q b q a a t dt f ≤ ∫ ， ( ) q at L ∈ 最后，对于任意的 ( ) [ , ] p x t L ab ∈ ，取 ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0, , n x t xt n x t x t n ≤ = ＞ 记 Bn = {t xt n , ( ) ＞ }，则 Bn 的测度 ( ) 0 µ Bn → ， ( ( ) ) 1 0, n p p n B p x x x t dt n − = → →∞ ∫ . 从而 () () () () b b n a a x t a t dt x t a t dt − ∫ ∫ 0, n p q ≤− → xxa 并且 ( ) () () () () lim . b b n n a a f x x t a t dt x t a t dt →∞ = = ∫ ∫ 这说明式 ( ) 6 是 [ , ] p L ab 上线性泛函的一般形式. 3° 定义 :, , [ ] [ ] p q T L ab L ab ∗ → ，Tf a = . 由以上证明知道 T 是到 上的等距同构，从而也是一一映射，故 [ , , ] [ ] p q L ab L ab ∗ =
类似地可以证明L[ab=L[ab 由Hahn- Banach定理,我们有 fll sup a(x(1dr Vxe Lp[a,b 凡s1 这里a∈"[a],p≥1,-+=1 p q 下面定理被称为 Riesz表现定理 定理3c[a,b=[b 证明1°对于每个a(t)∈[a,b],定义 f(x)=x(nda(), Exec[a,b ∫是C[ab]上的线性泛函,并且 (x)≤mx()()=(a) 所以f≤(a) 2°若∫∈C[b,考虑空间B[ab],B是[上有界函 数的全体.对于每个x∈B{ab],|=sp()显然,C[a小是 B[a,b的线性子空间.根据Hahn- Banach定理,对于∫,存在 F∈B[ab,在C[]上,F(x)=f(x),并且|F‖=f 设x是[a,小的特征函数,g(x)=F(x),若
8 类似地可以证明 [ ] [ ] 1 L ab L ab , , ∗ ∞ = ． 由 Hahn－Banach 定理，我们有 () () 1 sup q b p a a x a t x t dt ≤ = ∫ ， [ , ] p ∀ ∈x L ab 这里 [ , ] q a L ab ∈ ， p ≥1， 1 1 1 p q + = . 下面定理被称为 Riesz 表现定理. 定理 3 C ab V ab [ , , ] 0 [ ] ∗ = . 证明 1° 对于每个 a t V ab ( )∈ 0 [ , ]，定义 ( ) () () b a f x x t da t = ∫ ， ∀ ∈x C ab [ , ] . ( ) 8 f 是 C ab [ , ] 上的线性泛函，并且 ( ) max , ( ) ( ) ( ) b b atb a a f x x t da t a x ≤ ≤ ≤ = ∫ ∨ 所以 ( ) b a f ≤∨ a . 2° 若 f C ab [ , ] ∗ ∈ ，考虑空间 B ab [ , ]， B ab [ , ]是 [a b, ] 上有界函 数的全体. 对于每个 x∈ B ab [ , ]， sup ( ) atb x x t ≤ ≤ = ． 显然，C ab [ , ] 是 B ab [ , ] 的线性子空间 . 根 据 Hahn－ Banach 定理，对于 f ，存在 F B ab [ , ] ∗ ∈ ，在 C ab [ , ] 上， Fx f x ( ) = ( ) ，并且 F f = . 设 χt 是 [a t, ] 的特征函数， gx F ( ) = (χt ) ，若
0,存在△>0,当max(-12)<6时,x()-x(-)<6.令 x=∑x()(x1-x) 则x∈B[ab]并且 lx-x=sup x((-x()<e 于是 2()-(么) ()-x() (g)≤Ef 同时
9 1 1 n n aa b a b b ≤ ≤≤ = ＜ ＜ " , 令 ( ) () () () () 1 i i ii i ε gb ga gb ga − =− − ，则 () () ( ) () () 1 1 i i n n i i ib a i i gb ga F F εχ χ = = ∑ ∑ −= − ( ) 1 i i n ib a i F F εχ χ = ≤ −= ∑ . g t( ) 是有界变差函数，并且 ( ) b a ∨ gFf ≤ = . 若 x (t C ab )∈ [ , ] ， 0 1 n at t t b = = ＜＜ ＜" 是 [a b, ] 的任一分划. x(t) 在 [a b, ] 上一致连续， 故 ∀ε＞0，存在 δ＞0，当 ( 1 ) 1 max i i i n t t δ − ≤ ≤ − ＜ 时， xt xt ( i i ) ( 1 ) ε − − ＜ . 令 ( )( ) 1 1 i i n it t i x xt χ χ − = ′ = − ∑ ， 则 x′∈ B ab [ , ] 并且 ( ) ( ) 1 sup i i i t tt x x xt xt ε − ≤ ≤ −= − ′ ＜ . 于是 ( ) ( )( ) () ( ) 1 1 i i n b b it t a a i xdg F x xdg x t F F χ χ − = ∫ ∫ −= − − ′ ∑ () ( ) 1 1 i i n t i t i x t x t dg − = ≤ − ∑∫ ( ) , b a ≤ ≤ ε ε ∨ g f 同时
F(x)(-()+()x +E= E是任意的,故F(x)=Jxg 现在取a()是g()的右连续修正,即 (b)-g(a) t= b 其中g(+)是g在t处的右极限,显然a在(a,b)上右连续,故 a()∈[ab]我们证明∨(a)≤V(g)并且对于每个x∈Cab] 召=「 实际上,g()的不连续点是可数的,对于分划 a=10,取s,<S<tn(50=a,5n=b),使 g()在5连线并且|g(+)-g()<2n,则 (g(+)-g()+8(s)-g(x-)+g(s-)-g(4+)
10 ( ) () ( ) ( ) b b a a F x xdg F x F x F x xdg − ≤− + − ′ ′ ∫ ∫ ≤ −+ = Fxx f f ′ ε 2 ε , ε 是任意的，故 ( ) b a F x xdg = ∫ . 现在取 a t( ) 是 g t( ) 的右连续修正，即 () ( ) ( ) () () 0, , , t a t gt ga a t b gb ga t b α = = +− − = ＜ ＜ 其 中 g t( ) + 是 g 在 t 处的右极限，显然 α 在 (a b, ) 上右连续，故 a t V ab ( )∈ 0 [ , ] . 我们证明 () () b b a a ∨ ∨ α ≤ g 并且对于每个 x∈C ab [ , ] ， b b a a xdg xd = α ∫ ∫ . 实际上， g t( ) 的不连续点是可数的，对于分划 0 1 n at t t b = = ＜＜ ＜" 和 ∀ε＞0，取 i s ， t s t s as b i ii n ＜ ＜ +1 0 ( = , = ) ，使 g t( ) 在 i s 连续并且 ( ) () 2 i gt gs n ε + − ＜ ，则 () ( ) 1 1 n i i i α α t t + = ∑ − ( ) ( ) () () ( ) 1 11 () ( ) 1 n i i ii i i i gt gs gs gs gs gt − −− = ≤ ∑ +− + − + − +
