浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目:高等代数 科目代号:341 注意:所有解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上一律无效 、(15分)矩阵A,B具有相同的行数,把B任意一列加到A得到矩阵秩不变, 证明把硝所有列同时加到A上秩也不变 二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按幂次排列的多项式 a1+xa2+x…an a21+xa2,+x a x D= a,+x a+x a+x (2把行列式D的所有元素都加上同一个数,则行列式所有元素代数余子式之和不变 三、(15分)证明下面的()和()等价: (i)矩阵A是正交矩阵 (i)矩阵的行列式为±1:当4=时,矩阵所有元素的代数余子式为其本身, 当A=-时,矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以-1 b 四、(15分)(1)设矩阵A 则矩阵满足方程x2-(a+d)x+ad-b=0, (2)二阶矩阵满足A=0,k>2,则A2=0 010 五、(15分)设矩阵A=232,P=101,B=PAP+2E,求硝特征值和特征向量 223 六、(15分)设WW1是向量空间的子空间,WW2,W∩W=W2∩W,W+W=W2+W, 证明W=W2 七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式,证明其中必有两个矩阵相似 八、(15分)设v是向量空间的正交变换,W是v的不变子空间,证明W也是v的不变子空间 九、(15分)设A为实矩阵,证明存在正交矩阵G,使GˉAG为上三角矩阵的充要条件是 的特征值均为实数 十、(15分)设P为数域,∫=(x)∈P[x]g;=g,(x)∈Px]=1,2,证明f1g1)2g2) (1f2,f82,81f2,g1g2) 注:这是我凭记忆记下来的,有些题目可能不是很准确。希望对大家有用! dr
浙江大学 2006 年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：高等代数 科目代号：341 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ A B B A , B A 一、(15分)矩阵 具有相同的行数，把 的任意一列加到 得到矩阵秩不变， 证明把 的所有列同时加到 上秩也不变. 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... (2) n n n n nn x a x a x a x a x a x a x D a x a x a x D + + + + + + = + + + 二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按 的幂次排列的多项式 把行列式 的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 i ii i A ii A A A = = 三、(15分)证明下面的 和 等价： 矩阵 是正交矩阵； 矩阵 的行列式为 ；当 时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身， 当 － 时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1. 2 2 , ( ) 0; 0, 2, 0. k a b A A x a d x ad bc c d A k A = − + + − = = = 四、(15分)(1)设矩阵 则矩阵 满足方程 (2)二阶矩阵满足 则 1 * 3 2 2 0 1 0 2 3 2 , 1 0 1 , 2 , 2 2 3 0 0 1 A P B P A P E B − = = = + 五、(15分)设矩阵 求 的特征值和特征向量. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , . W W W V W W W W W W W W W W W W = + = + = 六、(15分)设 是向量空间 的子空间， 证明 七、(15分)三阶矩阵A B C D , , , 具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似. V W W 八、 ⊥ (15分)设 是向量空间 的正交变换， 是 的不变子空间，证明 也是 的不变子空间. 1 . A G G AG A 九、 − (15分)设 为实矩阵，证明存在正交矩阵 ，使 为上三角矩阵的充要条件是 的特征值均为实数 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) [ ], ( ) [ ], 1,2, ( , )( , ) ( , , , ) P f f x P x g g x P x i f g f g i i i i f f f g g f g g 十、(15分)设 为数域， = = = = 证明 注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier
2006-1-16
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