中国科学院数学与系统科学研究院 2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等代数(代码:839) 考生须知: 1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效 a 1.(16分)已知a,月,为实数,求A=7a B/∈Rnxm的行列式的值 C a 2.(16分)线性方程组 a11C1+a122+ +aln a211+a2202+ anan an-1nt 的系数矩阵为 a11 a12 设M/(=1,2,……,m)是在矩阵A中划去第j列所得到的n-1阶子式。试证: (i)(M1,-M2,…,(-1)2-1Mn)是方程组的一个解; (i)如果A的秩为n-1,那么方程组的解全是(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)的倍 3.(106分)若a为一实数,试计算m/1g 4.(18分)设a为实数,A ∈R1000,求A50第一行元素之和 1科目名称:高等代数 第1页共2页
✂✁☎✄✝✆✂✞✂✟✂✆✡✠☞☛✡✌✍✄✎✆✍✏✎✑✡✞ 2006 ✒✂✓✝✔✖✕✂✗✂✘✝✙ ✆✍✚✡✏✎✑✡✛✍✜✎✆✡✌✡✢✍✣✡✤✡✤✡✥ ✄ ✦★✧✂✩✝✪✍✫✂✬✖✭✎✟ ✮✯✭✡✰✎✪ 839 ✱ ✲✴✳✶✵✸✷✸✹ 1. ✺✸✻✸✼✸✽✸✾✸✿ 150 ✾✸❀❂❁✸❃ ✲ ✻✴❄✸❅✸❆✶❇ 180 ✾✸❈✸❉ 2 ❊❂❋✸●✸❍✸■✸❏✵✸❑✸▲❍✸▼✴◆✶❖✸❀ ❑✸▲✻✸✼✸❖✸P✸◗✸❘✴◆✶❖✴❙✶❚✸❯✸❱✸❉ 1. (16 ❲) ❳❂❨ α, β, γ ❩❭❬❭❪❭❫✸❴ A = α β γ α . . . . . . . . . β γ α ∈ R n×n ❵❜❛❭❝❡❞❭❵❜❢❭❣ 2. (16 ❲) ❤❥✐❧❦❧♠★♥ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an−1,1x1 + an−1,2x2 + · · · + an−1,nxn = 0 ❵❧♦ ❪❧♣★q❥❩ A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n . r Mj(j = 1, 2, · · · , n) s❧t❧♣★q A ✉✇✈★①❥② j ❝❧③❧④❧⑤★❵ n − 1 ⑥❥⑦ ❞❥❣⑨⑧❧⑩❧❶ (i) (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) s❧❦❧♠★♥ ❵❧❷❥❸❧❹❧❺ (ii) ❻❽❼ A ❵❿❾❩ n − 1, ➀➂➁❿❦❽♠➂♥ ❵❿❹❽➃s (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) ❵❿➄ ❪❣ 3. (16 ❲) ➅ α ❩ ❷❬❧❪❧❫ ⑧❧➆❧➇ lim n→+∞ 1 α n − α n 1 !n . 4. (18 ❲) r a ❩❭❬❭❪❭❫ A = a 1 a . . . . . . 1 a ∈ R 100×100 , ❴ A50 ② ❷❜❛❭➈❡➉❜➊❭➋❧❣ 1 1➌❜➍➏➎➑➐➑➒➔➓➑→➑➣➑↔ ↕ 1 ➙ ➛ 2 ➙
5.(18分)若向量组a1,a2,…,as(s>2)线性无关,讨论an+a2,a2+a3,……,as-1+ as,as+a1线性相关性 6.(18分)已知二次曲面方程x2+ay2+2+2bxy+2x2+2y2=4可以经正交变换 y=Py化为椭圆柱面方程y2+42=4.求a,b的值和正交矩阵P 7.(16分)设有实二次型f(x)=xAx,其中x是x的转置,A是3×3实对称矩 阵并满足以下方程 A3-642+11A-6=0 试计算 x max f(r) 其中|x2=a2+2+x3,第一个极大值是对满足以上方程的所有实对称矩阵A来 8.(16分)A∈R206×20是给定的幂零阵(即:存在正整数p使得AP=0而AP-1≠0) 试分析线性方程组Ax=0(x∈R200)非零独立解个数的最大值和最小值。 (16分)设∫是有限维向量空间V上的线性变换,且是V上的恒等变换,这里 n是某个正整数。设W={v∈V|f(v)=t}.证明W是V的一个子空间,并且其 维数等于线性变换(f+f2+…+f)/n的迹 科目名称:高等代数 第2页共2页
5. (18 ❲) ➅➝➜❂➞❡♥ α1, α2, · · · , αs(s > 2) ❤❜✐❭➟❡➠❜❫✯➡❭➢ α1 +α2, α2 +α3, · · · , αs−1 + αs, αs + α1 ❤❥✐❧➤★➠❥✐❣ 6. (18 ❲) ❳✇❨★➥❥➦☎➧❥➨❥❦❽♠ x 2 + ay2 + z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz = 4 ➩★➫✇➭❧➯❧➲★➳❿➵ x y z = P x 0 y 0 z 0 ➸❩❧➺★➻❥➼★➨❥❦❧♠ y 02 + 4z 02 = 4. ❴ a, b ❵❥❢❧➋ ➯❧➲❧♣★q P. 7. (16 ❲) r❧➽❬★➥❥➦❧➾ f(x) = x >Ax, ➚☎✉ x > s x ❵❥➪❧➶❫ A s 3 × 3 ❬❧➹❧➘❧♣ q❥➴❧➷❧➬☎➫❥➮❥❦❧♠❶ A 3 − 6A 2 + 11A − 6I = 0. ⑧❧➆❧➇ max A max kxk=1 f(x). ➚☎✉ kxk 2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 , ② ❷❥❸❧➱❧✃❧❢s❧➹❧➷❧➬❐➫✇❒❽❦❽♠ ❵❿③➽ ❬❽➹❧➘❽♣➂q A ❮ ❴❣ 8. (16 ❲)A ∈ R 2006×2006 sÏ❰ÏÐ ❵ÒÑÏÓ q (Ô ❶ÖÕtÏ➯Ï×❭❪ p Ø④ Ap = 0 Ù Ap−1 6= 0), ⑧❲❧Ú★❤❥✐❧❦❧♠★♥ Ax = 0 (x ∈ R 2006) ÛÓ❧Ü❧Ý❧❹❧❸❪ ❵❧Þ❥✃❽❢❽➋★Þ❿ß❧❢❽❣ 9. (16 ❲) r f s ➽❡à❜á ➜❂➞★â❧ã V ❒ ❵ ❤❜✐❡➳❜➵❧❫✇ä f n s V ❒ ❵❜å❭æ ➳❜➵❧❫✇ç➂è n s❧é❸➯❧×❧❪❣ r W = {v ∈ V |f(v) = v}. ⑩★ê W s V ❵❧❷❥❸⑦★â❧ã❥❫❥➴❧ä❧➚ á❪æ❧ë ❤❥✐★➳❥➵ (f + f 2 + · · · + f n )/n ❵❥ì❧❣ 2 2➌❜➍➏➎➑➐➑➒➔➓➑→➑➣➑↔ ↕ 2 ➙ ➛ 2 ➙
