北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何 博士家园会员 bumpkin zzw友情提供 Xor解答 网站名称:博士家园 网站地址:ht/www.bosshnet 博士家园论坛:htt/ wwhossh.net/forums转载请注明出处,我们保 留追究的权力 仅供学习交流,反对商业出售,违者必究! 0 1.在直角坐标系中,求直线l 到平面r:3x+By+z=0的正交投影轨 x+v+2 迹的方程 其中B是常数 可以验证点,0,∈1,0,2∈丌,从而l∈丌 把写成参数方程:{y=2-5,任取其上一点P:(-1+3k,2-5k,k),设该点 到丌上的投影为点P:(x,y,z) x+1-3k 2-k →x-3z+1=0 3 P∈丌→3x+B+z=0 3z+1=0 整理即知,l到丌上的正交投影轨迹满足方程 13x+By+==0 由于≠,上述方程表示一条直线,而2*3+B-1=0和3+B+2=0不同时成 立,因此l到丌上的正交投影轨迹是一条直线 x-3z+1=0 从而到丌上的正交投影轨迹的方程就是 3x+By+==0 2.在直角坐标系中对于参数λ的不同取值,判断下面平面二次曲线的形状 x2+y2+2xxy+λ=0 对于中心型曲线,写出对称中心的坐标
北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何 博士家园会员 bumpkin_zzw 友情提供 zhengzhongwu@neusoft.edu.cn Xor 解答 网站名称：博士家园 网站地址：http://www.bossh.net 博士家园 论坛：http://www.bossh.net/forums/ 转载请注明出处，我们保 留追究的权力。 仅供学习交流，反对商业出售，违者必究！ 1． 在直角坐标系中，求直线 + + = + − = 2 1 2 0 : x y z x y z l 到平面 : 3x + By + z = 0 的正交投影轨 迹的方程。 其中 B 是常数 解： 可以验证点 1 2 1 2 ,0, , ,0, 5 5 5 5 l ，从而 l 把 l 写成参数方程： 1 3 2 5 x k y k z k = − + = − = ，任取其上一点 P: ( 1 3 ,2 5 , ) − + − k k k ，设该点 到 上的投影为点 ' P : ( , , ) x y z ' 1 3 3 1 0 3 1 x k z k PP x z + − − ⊥ = − + = P x By z + + = 3 0 整理即知， l 到 上的正交投影轨迹满足方程 3 1 0 3 0 x z x By z − + = + + = 由于 1 1 3 1 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 1 0 + − = B 和 3 2 0 + + = B 不同时成 立，因此 l 到 上的正交投影轨迹是一条直线 从而 l 到 上的正交投影轨迹的方程就是 3 1 0 3 0 x z x By z − + = + + = 2． 在 直 角坐 标 系中 对 于参 数 的 不 同取 值 ，判 断下 面 平面 二 次曲 线的 形 状 ： 2 0 2 2 x + y + xy + = . 对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；
对于线心型曲线,写出对称直线的方程 记T= √2'√2 容易验证TT=E,因此直角坐标变换|=T|是一个 y √√2 正交变换 在这个变换下,曲线方程变为(1+4)x+(1-4)y=- 1)λ0,-4>0,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称 点为(0,0) 2)=-1时,曲线方程为y-2 ,是一对平行直线,是线心型曲线,对称直线 为y=0,即 0.,1-4>0,->0,曲线为椭圆,是中心型曲线,对 称点为(0,0) 4)元=0时,曲线方程为x”+y=0,是一个点,是中心型曲线,对称点为(0.0) 5)00,1-λ>0,-λ1时,1+λ>0,1-λ<0,-元<0,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称 点为(0,0) 3.设数域K上的n级矩阵A的(,j元为a1-b (1)求A; (2)当n≥2时,a1≠a2,b1≠b2求齐次线性方程组AX=0的解空间的维数和一
对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解： 记 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 T = − ，容易验证 ' TT E = ，因此直角坐标变换 * * x x T y y = 是一个 正交变换 在这个变换下，曲线方程变为 2 2 * * (1 ) (1 ) + + − = − x y 1) −1 时， 1 0,1 0, 0 + − − ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称 点为 (0,0) 2) =−1 时，曲线方程为 2 * 1 2 y = ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线 为 * y = 0 ，即 y x = 3) − 1 0 时， 1 0,1 0, 0 + − − ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对 称点为 (0,0) 4) = 0 时，曲线方程为 2 2 * * x y + = 0 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为 (0,0) 5) 0 1 时， 1 0,1 0, 0 + − − ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对 称点为 (0,0) 6) =−1 时，曲线方程为 2 * 1 2 x = − ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称 直线为 * x = 0 ，即 y x = − 7) 1 时， 1 0,1 0, 0 + − − ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称 点为 (0,0) 3． 设数域 K 上的 n 级矩阵 A 的 (i, j) 元为 ai − bj （1）.求 A ; (2).当 n 2 时， 1 2 1 2 a a ,b b .求齐次线性方程组 AX = 0 的解空间的维数和一
个基。 解: 若n=1,|AFa1-b 若n=2,14=1-ba-b =(a2-a)b2-b) a2-D1 a2 a,-b a-b a-b, a,-b b 若n>2,|A|= b b2 b2 b a-ba-b a-b b2 b2 0 b a-b 若n=2,则A={a-b-4/(a2-a-h)≠0,方程组AX=0只有零 解,其解空间维数为0 若n>=3,则由(1)知道A的任意一个3级子式的行列式为0,而A的一个2级子 式/a-ba-h 的行列式为(a2-a1)(b2-b)≠0,从而rmkl=2 a2-b a2-b 于是方程组AX=0解空间的维数是n-2,取向量组B,B2…,Bn-2,其中 B b-bm,j=2,=12 0,其他 可知[B1,B2…,B 其中En2是n-2阶单位矩阵,C是一个 E 2*(n-2)的矩阵,从而rmk(A,B2…,B2)=n-2
个基。 解： (1) 若 n =1， 1 1 | | A a b = − 若 n = 2， 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 | | ( )( ) a b a b A a a b b a b a b − − = = − − − − 若 n 2， 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 1 2 3 | | n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b − − − − − − − − − − − = − − − − − − − 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 n n n n n R R n R R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = − − − − − − − (2) 若 n = 2 ，则 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 | | ( )( ) 0 a b a b A a a b b a b a b − − = = − − − − ，方程组 AX = 0 只有零 解，其解空间维数为 0 若 n = 3 ，则由(1)知道 A 的任意一个 3 级子式的行列式为 0，而 A 的一个 2 级子 式 1 1 1 2 2 1 2 2 a b a b a b a b − − − − 的行列式为 2 1 2 1 ( )( ) 0 a a b b − − ，从而 rankA= 2 于是方程组 AX = 0 解空间的维数是 n − 2 ，取向量组 1 2 2 , ,..., n− ，其中 1 2 i i i in c c c = ， 2 1 2 1 2 1 , 1 , 2 1, 0, n i n i ij b b j b b b b c j b b j n i − − − = − − = = − = − 其他 ，i n = − 1,2,..., 2 可 知 1 2 2 2 [ , ,..., ] n n C E − − = ，其中 E n−2 是 n − 2 阶 单 位 矩阵 ， C 是一个 2*( 2) n − 的矩阵，从而 1 2 2 ( , ,..., ) 2 n rank n − = −
并且对任意的i (a-b) ck=a c B-b+2-b+)-(bb-b=+b2-bm+b)=0 b-b b-b 因此月,B2,…,B=2都属于方程组AX=0解空间,从而是方程组AX=0解空间的 组基 4.(1)设数域K上n级矩阵,对任意正整数m,求Cm C是什么? (2)用M(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合,它对于矩阵的加法和数量乘法 成为K上的线性空间。数域K上n级矩阵A={na1a2 称为循环矩阵 用U表示K上所有n级循环矩阵组成的集合。 证明:U是Mn(K)的一个子空间,并求U的一个基和维数。 对任意的A= a2 及k∈K a∈K→k∈k,(i=1,2,…,n) an 因此kA=k b b, b b 对任意的A={aa ∈U,和B bn, b b2 bleU,有 h2b3b…h a1∈K,b∈K→a+b∈K, 因 此
并且对任意的 i n = − 1,2,..., 2 ， 有 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( 1) ( ) 0 n n i n i n i n i i k ik i n i k b b b b b b b b a b c a b b b b b b b b b b b − − − − − = − − − − − = + + − + + = − − − − 因此 1 2 2 , ,..., n− 都属于方程组 AX = 0 解空间，从而是方程组 AX = 0 解空间的 一组基 4．（1）设数域 K 上 n 级矩阵，对任意正整数 m ，求 m C [C 是什么？] （2）用 M (K) n 表示数域 K 上所有 n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法 成为 K 上的线性空间。数域 K 上 n 级矩阵 2 3 4 1 1 2 1 1 2 3 a a a a a a a a a a a a A n n n − = 称为循环矩阵。 用 U 表示 K 上所有 n 级循环矩阵组成的集合。 证明： U 是 M (K) n 的一个子空间，并求 U 的一个基和维数。 证： 对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − = ，以及 k K ， 有 ,( 1,2,..., ) i i a K ka K i n = 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 n n n n n n a a a a ka ka ka ka a a a a ka ka ka ka kA k U a a a a ka ka ka ka − − = = 对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − = ，和 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n b b b b b b b b B U b b b b − = ，有 , , i i i i a K b K a b K + 因 此
b, a2+b, a3+b3 b, b bb…b b A+B 1 b, a,+b3 a4+b 4 b 可知U是Mn(K)的一个子空间。 cm-),其中c= ,j≠i 记C1= i=1,2,,n, 量组(C1C2屡、3…、eU,有A=4,即U所有向量都能用向 对任意的A=144 a2 性表出 k k2 k3 k, k k2 设一组数k∈K,=12…,m,满足∑kC=O,亦即 k, k4 可得k1=0,i=1,2,…,n,向量组(C1,C2…,Cn)线性无关 综上向量组(C1,C2…,Cn)是U的一组基 5.(1)设实数域R上n级矩阵H的(,j)元为 (n>1)。在实数域上n维线性空 间R中,对于a,B∈R",令f(a,B)=aHB。试问:∫是不是R”上的一个内积,写 出理由。 (2)设A是n级正定矩阵(n>1)a∈R",且a是非零列向量。令B=Aaa',求B 的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 (1)∫是R”上的一个内积,证明如下 容易验证∫是R"上的一个双线性函
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 1 1 n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b A B U a a a a b b b b a b a b a b a b − − − − + + + + + + + + + = + = + + + + 可知 U 是 M (K) n 的一个子空间。 记 1 2 3 1 2 ( 1) 2 3 4 1 i i i in in i i i n i i i i i c c c c c c c c C c c c c − = ，其中 0, 1, ij j i c j i = = ，i n =1, 2,..., ， 对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − = ，有 1 n k k k A a C = = ，即 U 所有向量都能用向 量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 线性表出 设一组数 , 1,2,..., i k K i n = ，满足 1 n i i n i k C O = = ，亦即 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n n k k k k k k k k O k k k k − = 可得 0, 1,2,..., i k i n = = ，向量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 线性无关 综上向量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 是 U 的一组基 5．（1）设实数域 R 上 n 级矩阵 H 的 (i, j) 元为 1 1 i + j − （ n 1 ）。在实数域上 n 维线性空 间 n R 中，对于 n , R ，令 f (, ) =H 。试问： f 是不是 n R 上的一个内积，写 出理由。 （2）设 A 是 n 级正定矩阵（ n 1 ） n R ，且 是非零列向量。令 B = A ，求 B 的最大特征值以及 B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是 n R 上的一个内积，证明如下： 容易验证 f 是 n R 上的一个双线性函数
对R中任意的非零向量a f(a, a)=aHa= 令g(x)=∑ax,是R上的一个多项式函数,有0≤g2(x)=∑∑aax2 i=1j= 可得0g(x)d=∑∑ax=S∑1,=(a,a) ==l+J ∫g2(xx=0,由于g2(x)在1上连续,则必有g2(x)=0,g(x)=0 则a=0=12…,n,即a=0,与a是R中非零向量矛盾,所以g(x>0, f(a,a)>0 所以∫是Rn上的一个内积 (2)由于A正定,a≠0,可得λ=aAa>0,Aax≠0,rmB= ranka a=1, 由 rankB=1知方程组BX=0解空间W的维数为n-1,W同时也是B的属于 0特征值的特征子空间 由A>0,Aa≠0和BAa= Aac da=(aAa)Ax=AAa,知λ是B的特征值, Aa是B的属于特征值λ的特征向量 设B的属于这个特征值的特征子空间为W,由λ≠0,W∩W=0,所以 dimW, +dimWo=dim(W+Wo)sn 即dmW2≤1,而Aa≠0,Aa∈W,dimW2=1,W2的一组基为Aa dimH=1→dimW2+dmW=n,因此B没有其他特征值,元>0是B的唯 非零特征值,也是B最大的特征向量 6.设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换,用I表示V上的恒等变换,证明 A=lerank(I-A)+rank(I+A+A) 证明
对 n R 中任意的非零向量 1 2 n a a a = ， 1 1 ( , ) 1 n n i j i j a a f H i j = = = = + − 令 1 1 ( ) n i i i g x a x − = = ，是 R 上的一个多项式函数，有 2 2 1 1 0 ( ) n n i j i j i j g x a a x + − = = = 可得 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 0 ( ) ( , ) 1 n n n n i j i j i j i j i j a a g x dx a a x dx f i j + − = = = = = = = + − 若 1 2 0 g x dx ( ) 0 = ，由于 2 g x( ) 在 [0 1] ， 上连续，则必有 2 g x( ) 0 ， g x( ) 0 则 0, 1,2,..., i a i n = = ，即 = 0 ，与 是 n R 中非零向量矛盾。所以 1 2 0 g x dx ( ) 0 ， f ( , ) 0 所以 f 是 n R 上的一个内积 (2) 由于 A 正定， 0 ，可得 ' = A 0 ， A 0， ' rankB rank = = 1， 由 rankB =1 知方程组 BX = 0 解空间 W0 的维数为 n−1，W0 同时也是 B 的属于 0 特征值的特征子空间 由 0，A 0 和 ' ' BA A A A A A = = = ( ) ，知 是 B 的特征值， A 是 B 的属于特征值 的特征向量 设 B 的属于这个特征值的特征子空间为 W ，由 0 ， 0 W W 0 = ，所以 0 0 dim dim dim( ) W W W W n + = + 即 dim 1 W ，而 A A W 0, ，dim 1 W = ，W 的一组基为 A 0 dim 1 dim dim W W W n = + = ，因此 B 没有其他特征值， 0 是 B 的唯一 非零特征值，也是 B 最大的特征向量 6．设 A 是数域 R 上 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，用 I 表示 V 上的恒等变换，证明： = rank( − ) + rank( + + ) = n 3 2 A I I A I A A 证明：
记f(x)=1-x3,8(x)=1-x,h(x)=1+x+x2 其中(g(x),h(x)=1,f(x)=g(x)h(x) 因此Kerf(A)=Kerg(A)由Kerh(A),Kerg(A)∩Kerh(A)=0 于是 分f(A)=0 分Kerf(A)=l V=Kerg(A)田Kerh(A) e dimv=dim Kerg(a)+dim Kerh(a) on=n-rankg(A)+n-rankh(A) on=rank(I-A)+rank(I+A+A) 欢迎来博士家园版块:硕博之路一试题集与解答库参与试题讨论! 呼呼
记 3 2 f x x g x x h x x x ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 = − = − = + + 其中 ( ( ), ( )) 1 g x h x = ， f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 因此 Kerf Kerg Kerh ( ) ( ) ( ) A A A = ， Kerg Kerh ( ) ( ) 0 A A = 于是 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) dim dim ( ) dim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Kerf V V Kerg Kerh V Kerg Kerh n n rankg n rankh n rank rank = = = = = + = − + − = − + + + 3 A I A A A A A A A A I A I A A 欢迎来博士家园版块：硕博之路—试题集与解答库参与试题讨论！ 呼呼
