信息科学技术学院2003-204学年第二学期 本科生期末考试试卷 考试科目:代数结构与组合数学考试时间:204年6月 专业 级班 姓名 学号 装 四五六七八九|十|总分 得 (每小题3分,共18分)判断以下命题的真假如果为真在后面括弧内打 √,否则打× 1.A={xx∈N且(x,5)=1},则构成代数系统,+为普通加法() 2.Vx,y∈R,xoy=-y,则0为的单位元 3.Wx,y∈R,xoy=x+y+x,则vx∈R,x=x/(1+x) 4.整环的积代数不一定是整环 5.格同态具有保序性 6.在有补格中,Va∈L,求a的补是L的一元运算 解答:1.×2.×3.×.4.√5.√6 答 评分标准:每题3分,错一题扣3分。 、(12分)A={a,bcC},o是A上的二元运算,在=的运算表中,除了 aob=a以外,其余运算结果都等于b 1.试给出=<>的两个非恒等映射的自同态 2.给出这两个自同态导出的关于V的商代数 解答:1.f={,,},g={,,} 2.∫导出的商代数为,其运算为{abc}*{a,b,c}={a,b,c} 评分标8导出的商代数为,Vx∈{ab,},x=(ab 准:给对一个自同态得3分,给对一个商代数得3分 注意结果不惟一,但是自同态满足将b映到b
- 0 - 信息科学技术学院 2003-2004 学年第二学期 本科生期末考试试卷 考试科目： 代数结构与组合数学 考试时间：2004 年 6 月 专业 级 班 姓名 学号 毛 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得 分 一、（每小题 3 分,共 18 分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打 √，否则打×. 1．A={x|x∈N 且(x,5)=1}，则构成代数系统，+为普通加法 （ ） 2．∀x, y∈R，xoy=|x−y|，则 0 为的单位元 （ ） 3．∀x, y∈R，xoy=x+y+xy，则∀x∈R，x −1 =−x/(1+x) （ ） 4．整环的积代数不一定是整环 （ ） 5．格同态具有保序性 （ ） 6．在有补格中，∀a∈L，求 a 的补是 L 的一元运算 （ ） 解答：1. × 2. × 3. ×. 4. √ 5. √ 6. × 评分标准：每题 3 分，错一题扣 3 分。 二、（12 分）A={a,b,c}, o 是 A 上的二元运算，在 V=的运算表中，除了 aob=a 以外，其余运算结果都等于 b. 1．试给出 V=的两个非恒等映射的自同态. 2．给出这两个自同态导出的关于 V 的商代数. 解答：1. f={,,}, g={,,} 2. f 导出的商代数为, 其运算为{a,b,c}∗{a,b,c}={a,b,c} g 导出的商代数为, ∀x,y∈{{a,b},{c}}, x∗y={a,b} 评分标准：给对一个自同态得３分，给对一个商代数得３分． 注意结果不惟一，但是自同态满足将ｂ映到ｂ． 装 订 线 内 请 勿 答 题
(10分)设N是群G的一个正规子群,且GN=m,证明va∈G都有 a"∈N. 解答与评分标准: 证根据商群定义GF=GM,因此(GM=m.(2分) va∈G,Na∈GN,(Na)=N (3分) 根据商群运算有,(Na)=Nam,从而Nam=N(3分) 由陪集相等条件得a"∈N (2分) 四、(10分)证明有理数域的自同构只有恒等自同构 解答与评分标准 证任何有理数表为pq,其中pq为整数,q>0,p与q互素(1分) 自同构满足∫Q→Q,且A0=0,f(1)=1, (2分) x∈Z,fx)=f1+1+1++1)=f(1)+(1)+.+(1)=x (2分 Vx∈Z,令x=y,则f(x)=(-y)=-(y)=-y=x (1分) Vxe@, x-p/g, x)pq p]q pug)=pq=plx (25) vx∈g,x=plq,fx)=(p)(q)=一(p)(q)=-pq=x ∫为恒等映射 五、(16分)由集合{5a,1·b,1c,1d,1e}中的全体元素构成字母序列,求: 1.没有两个a相邻的序列个数 2.b,c,d,e中的任何两个字母都不相邻的序列个数 解答与评分标准: 以a为格子分界,放b,c,de进入4个格子,方法数为4=24(8分) 2.以bcd,e为格子分界,方法数为4!。将3个a放入格内分隔b,c,de, 然后将另2个a插入5个空隙,方法数为方程x1+x2+x3+x4+x5=2的非 负整数解个数,为C6,2)=15 所求方法数为N=15.4=360 (8分) 六、(10分)求和∑C(2n,2k) 解答与评分标准 求和结果正确得10分,没讨论m=0情况者得9分
- 1 - 三、（10 分）设 N 是群 G 的一个正规子群，且[G:N]=m，证明∀a∈G 都有 am∈N. 解答与评分标准： 证 根据商群定义 |G/N|=[G:N]，因此|G/N| = m. （2 分） ∀a∈G, Na∈G/N，(Na) m = N （3 分） 根据商群运算有, (Na) m=Nam , 从而 Nam = N （3 分） 由陪集相等条件得 am∈N. （2 分） 四、（10 分）证明有理数域的自同构只有恒等自同构. 解答与评分标准： 证 任何有理数表为 p/q，其中 p,q 为整数，q>0，p 与 q 互素 （1 分） 自同构满足 f:Q→Q, 且 f(0)=0, f(1)=1, （2 分） ∀x∈Z+ ，f(x)=f(1+1+1+…+1)=f(1)+f(1)+…+f(1)=x. （2 分） ∀x∈Z− , 令 x=−y，则 f(x)=f(−y)= −f(y)= −y=x （1 分） ∀x∈Q+ , x=p/q, f(x)=f(pq−1 )=f(p)f(q−1 )=p(f(q))−1 =pq−1 =p/q=x （2 分） ∀x∈Q− , x=−p/q, f(x)=f(−p)f(q−1 )= −f(p)f(q−1 )= −p/q=x （2 分） f 为恒等映射。 五、（16 分）由集合{5⋅a, 1⋅b, 1⋅c, 1⋅d, 1⋅e}中的全体元素构成字母序列，求： 1．没有两个 a 相邻的序列个数 2．b, c, d, e 中的任何两个字母都不相邻的序列个数. 解答与评分标准： 1．以 a 为格子分界，放 b,c,d,e 进入 4 个格子，方法数为 4!=24 （8 分） 2．以 b,c,d,e 为格子分界，方法数为 4!。将 3 个 a 放入格内分隔 b,c,d,e， 然后将另 2 个 a 插入 5 个空隙，方法数为方程 x1+x2+x3+x4+x5=2 的非 负整数解个数，为 C(6,2)=15 所求方法数为 N=15⋅ 4!=360 （8 分） 六、（10 分）求和 ∑ = n k C n k 0 (2 ,2 ) 解答与评分标准： 求和结果正确得 10 分， 没讨论 n=0 情况者得 9 分
0,∑C(2n,2k) 0,∑C(2n2k)=∑2+∑( (221+0)=2 七、(10分)用3种颜色涂色3×3的方格棋盘,每个方格一种颜色.如果允许 棋盘任意旋转或翻转,问有多少种不同的涂色方案? 解答:群G的置换结构为: (·)()()()()()(°)(°)(·)1个 (·)(··)(·°)(°)(° 个 ·)(·°)(0)(·)()() M=(3+2×33+35+4×3“)=2862 评分标准:群对了得6分, Polay定理用对了得3分,计算对了得1分。 八、(14分)设n为自然数,求平面上由直线x+2y=n与两个坐标轴所围成的 直角三角形内(包括边上)的整点个数,其中整点表示横、纵坐标都是整 数的点 解:整点个数为以下方程非负整数解的个数 x+2y=r,F=0,12,n 生成函数为 A(2 41+ ∑(-1 (1+r) ∑ n+ 为偶数 N=∑a= 4+4(-1 +1)(n+3)n为奇数 评分标准:写对生成函数得6分,解出a得5分,求出N得3分
- 2 - 2 2 1 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 0 2 2 1 − = = = = = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ > = = = ∑ ∑ ∑ ∑ n n n k k n k n k n k k n k n n C n k n C n k , ( , ) ( ( ) ) ( ) , ( , ) 七、（10 分）用 3 种颜色涂色 3×3 的方格棋盘，每个方格一种颜色. 如果允许 棋盘任意旋转或翻转，问有多少种不同的涂色方案？ 解答：群 G 的置换结构为： (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) (•) 1 个 (• • • •) (• • • •) (•) 2 个 (• •) (• •) (• •) (• •) (•) 1 个 (• •) (• •) (• •) (•) (•) (•) 4 个 (3 2 3 3 4 3 ) 2862 8 1 9 3 5 6 M = + × + + × = 评分标准： 群对了得 6 分，Polay 定理用对了得 3 分，计算对了得 1 分。 八、（14 分）设 n 为自然数，求平面上由直线 x+2y=n 与两个坐标轴所围成的 直角三角形内（包括边上）的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整 数的点. 解：整点个数为以下方程非负整数解的个数 x+2y=r , r=0,1,…,n 生成函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = = + + − = = + + − = − − + + + − + − + + = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = ∞ = ∞ = ∞ = 为奇数 为偶数 n n n n n r N a r a z r z r z z z z z z A z n r r n r r r r r r r r r r r ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 3 4 1 2 4 1 1 4 1 4 3 2 1 4 1 4 3 2 1 4 3 1 4 1 4 1 1 1 4 3 1 4 1 4 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 2 评分标准：写对生成函数得 6 分，解出 ar得 5 分，求出 N 得 3 分