《泛函分析》课程教学资源：第11讲 开映射与闭图像定理

第11讲开映射与闭图像定理 教学目的 掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应 授课要点 1、开映射定理的条件、结论与证明思路 2、闭图象定理的条件、结论与证明思路 3、通过例子初步掌握其应用。 设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是线性算子.我们曾经说过,若T是一一的,则 T-1:R(T)→X是线性算子,这里R(T)是T的值空间.此时对于每个y∈R(T),算子方程 x=y有唯一解存在,x=T-y.若T是到上的,则R(T)=Y,此时T在整个空间Y上有定 义,7T=l是X上的恒等算子.若问在算子方程中y的微小变动是否引起x的变动也是微 小的,这是由T-的连续性决定的.在微分方程理论中,存在性、惟一性和解对所给数据的 连续依赖性统称为适定问题.这一问题与开映射定理有关.另外容易知道,当T是一一的线 性映射时,T是开算子恰恰相当于T-是连续算子(见第一章第3讲定理4) 定义1设T:X→Y是线性算子.若T将X中的每个开集映射为y中的开集,称T为 开算子(开映射) 引理1设X,Y是线性赋范空间,线性算子T:X→Y是开算子当且仅当对于0∈X的 每个邻域O(0.r),T(O(0.r)包含0∈Y的邻域 证明若T是开算子,O(0.r)是0∈X的邻域,则T(O(0.r)是开集.因为70=0,从 而T(O(0.r)是0∈y的邻域 反之,若T具有所说的性质,A是X中任一开集,我们证明T(4)是Y中的开集.对于 每个y∈T(4)),设y=Tx,x∈A,则存在r>0,O(x,r)cA.此时O(x,r)-x=O0,r)是0∈X 的邻域,于是由所说的性质(O(xr)-Tx=T(O(0.r)包含0∈Y的邻域.从而 TO(xr)=Tx+T(O(0.,r)包含x的邻域.显然7(O(xr)cT(A),所以y是T(4)的内点y 是任意的,故T(A)为开集,T为开算子 定理1(开映射定理)设X是 Banach空间,Y是线性赋范空间,T:X→是有界线 性算子并且R(T)是Y中的第二纲集,则T必是开算子并且是到上的 特别地,从 Banach空间到 Banach空间上的有界线性算子是开算子

第 11 讲 开映射与闭图像定理 教学目的 掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应 用。 授课要点 1、 开映射定理的条件、结论与证明思路。 2、 闭图象定理的条件、结论与证明思路。 3、 通过例子初步掌握其应用。 设 X,Y 是线性赋范空间，T : X → Y 是线性算子. 我们曾经说过，若T 是一一的，则 T R T → X − : ( ) 1 是线性算子，这里 R(T) 是T 的值空间. 此时对于每个 y ∈ R(T) ，算子方程 Tx = y 有唯一解存在, . 1 x T y − = 若T 是到上的，则 R(T) = Y, 此时 −1 T 在整个空间Y 上有定 义，T T = I −1 是 X 上的恒等算子. 若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微 小的，这是由 −1 T 的连续性决定的. 在微分方程理论中，存在性、惟一性和解对所给数据的 连续依赖性统称为适定问题. 这一问题与开映射定理有关. 另外容易知道，当T 是一一的线 性映射时，T 是开算子恰恰相当于 −1 T 是连续算子 (见第一章第 3 讲定理 4). 定义 1 设T : X → Y 是线性算子. 若T 将 X 中的每个开集映射为Y 中的开集，称T 为 开算子(开映射). 引理 1 设 X,Y 是线性赋范空间，线性算子T : X → Y 是开算子当且仅当对于0∈ X 的 每个邻域 ) O(0.r ，T(O(0.r)) 包含0∈Y 的邻域. 证 明 若T 是开算子，O(0.r) 是0∈ X 的邻域，则T(O(0.r)) 是开集．因为T0 = 0，从 而T(O(0.r)) 是0∈Y 的邻域. 反之，若T 具有所说的性质， A 是 X 中任一开集，我们证明T(A) 是Y 中的开集. 对于 每个 y ∈T(A) )，设 y = Tx, x∈ A, 则存在 r > 0, O(x,r) ⊂ A. 此时O(x,r) − x = O(0,r) 是 0∈ X 的邻域，于是由所说的性质 T( )) O(x.r)) − Tx = T(O(0.r 包 含 0∈Y 的邻域 . 从 而 T( )) O(x.r)) = Tx + T(O(0.r 包含Tx 的邻域. 显然T(O(x.r)) ⊂ T(A) ，所以 y 是T(A) 的内点. y 是任意的，故T(A) 为开集，T 为开算子. 定理 1 (开映射定理) 设 X 是 Banach 空间， Y 是线性赋范空间， T : X → Y 是有界线 性算子并且 R(T) 是Y 中的第二纲集，则T 必是开算子并且是到上的. 特别地，从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子

证明1°我们知道,对于线性赋范空间的任意子集A,B,A+BcA+B.现在设 {x∈x;|0.(为 明确起见我们记X中0点的邻域为Ox,Y中0点的邻域为O1)由于T是线性的,故 yr>0我们有 O2(0,r)=rO1(0,d)crT(U)=7(Ox(0,r) (2) 2°现在我们证明,由(2)可以推出 O(0,)c7(O(0,r) 实际上,yn∈O,0.0),由(2), O(0,~)c7(O(0.÷) 于是存在x∈O205使得|-x1|<,即y1=1-Tx∈O(0.)再由(2)式, O,(0.20)cT(O(0.7) 于是存在xO1(0.2)使得p-x<},即y2=n-x2∈O10 一般来说,丑xn∈O(0,)使得yn=y0-1x1-…-Txn∈O1(0.) 现在一方面imyn=0,所以y=imT∑x)另一方面 →① x

证 明 1°我们知道，对于线性赋范空间的任意子集 A, B, A + B ⊂ A + B . 现在设 } 2 1 { ; 1}, { ; U = x ∈ X x 0. （为 明确起见我们记 X 中 0 点的邻域为OX ，Y 中 0 点的邻域为OY ．） 由于T 是线性的， 故 ∀r > 0 我们有 O r rO r Y (0, δ ) = Y (0, δ ) ⊂ T(U) T(O (0, r)) = X ． (2) 2 D 现在我们证明，由（2）可以推出 ) ⊂ 2 (0, rδ OY T(O(0, r)) ． (3) 实际上， ) 2 (0, 0 rδ ∀y ∈OY , 由（2）， ) ⊂ 2 (0, rδ OY )) 2 ( (0, r T O ． 于是存在 ) 2 (0, 1 r x ∈OX 使得 , 2 0 1 2 rδ y − Tx < 即 ). 2 (0, 1 0 1 2 rδ y = y − Tx ∈OY 再由（2）式， ) ⊂ 2 (0, 2 rδ OY )) 2 ( (0, 2 r T O ． 于是存在 ) 2 (0, 2 2 r x ∈OX 使得 , 2 1 2 3 rδ y − Tx < 即 ), . 2 (0, 2 1 2 3 " rδ y = y − Tx ∈OY 一般来说， ) 2 (0, n X n r ∃x ∈O 使得 ). 2 (0, 0 1 +1 = − − − ∈ n n Y n r y y Tx Tx O δ " 现在一方面 lim = 0, →∞ n n y 所以 lim ( ). 1 0 ∑= →∞ = n i i n y T x 另一方面 r r x i i i ∑ i < ∑ = ∞ = ∞ =1 1 2

X完备,故存在x=lm∑x并且||≤∑|0使得 ds|x≤x∈x 推论2假设线性空间x上有两个范数|,|l2,并且在两个范数之下x都成为 Banach 空间,若存在a>0使得叫2≤1,vx∈x,则(4)成立 证明为不致混淆,记x1=(X,|),x2=(x,|l2).考虑恒等映射/:X1→X2,由 所设条件,|叫2≤,因此/是一一的到上的有界线性算子由定理2,P有界,从而 卩,s|4,即≤2 这一结论表明,如果两个范数都使X成为 Banach空间,只要两个范数是可比较的,则 它们一定是彼此等价的.这一点与第一章第7讲中有限维空间的情况形成对照 下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用 例1考虑第一型 Fredholm积分方程 x(s)=2LK(s, ix()dt+p(s) (5)

X 完备，故存在 ∑= →∞ = n i i n o x x 1 lim 并且 , 1 0 x x r i ≤ ∑ i < ∞ = 即 (0, ) . x0 ∈OX r = U T 连续，故 lim ( ). ( ). 0 1 0 y T x T x n i i n = ∑ = = →∞ 这说明（3）成立. 由引理 1，T 是开算子． 3 D 记 ), 2 (0, rδ V = OY 像 1 D 中证明的一样，这里有Y nV n ∞ = = ∪1 ，于是 = ∪ ⊃ ∞ = ( ) ( ) 1 T X nT U n . 1 nV Y n ∪ = ∞ = T 是到上的. 由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的. 定理 2 (逆算子定理) 设 X 是 Banach 空间，Y 是线性赋范空间，T : X → Y 是一一的有 界线性算子. 若 ) T(X 是 Y 中的第二纲集， 则 −1 T 是定义在全空间 Y 上的有界线性算子. 此时Y 是 Banach 空间. 特别地， 从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子若是可逆的，则逆算子是有 界的. 证 明 若T 是一一的， −1 T 存在，根据开映射定理，T 是到上的开映射, 这说明 −1 T 是 有界的. 因此T 是 X ，Y 之间的同构. 第一章第 7 讲定理 2 说明Y 是 Banach 空间. 推论 1 设 X ，Y 是 Banach 空间， T : X → Y 是一一的到上的有界线性算子，则存在 正数 a,b ＞0 使得 a x ≤ Tx ≤ b x , ∀x∈ X （4） 推论 2 假设线性空间 X 上有两个范数 1 2 • , • ，并且在两个范数之下 X 都成为 Banach 空间，若存在 a ＞0 使得 , , 2 1 x ≤ a x ∀x ∈ X 则（4）成立。 证 明 为不致混淆，记 ( , ), 1 1 X = X • ( , ) 2 2 X = X • ．考虑恒等映射 1 2 I : X → X ，由 所设条件， 2 1 Ix ≤ a x ，因此 I 是一一的到上的有界线性算子. 由定理 2， −1 I 有界，从而 2 1 1 1 I x I x − − ≤ ， 即 . 1 2 x ≤ b x 这一结论表明，如果两个范数都使 X 成为 Banach 空间，只要两个范数是可比较的，则 它们一定是彼此等价的. 这一点与第一章第 7 讲中有限维空间的情况形成对照. 下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用. 例 1 考虑第一型 Fredholm 积分方程 ∫ = + 1 0 x(s) λ K(s,t)x(t)dt ϕ(s), (5)

这里λ是某个常数,K(s,1)是0≤5,【≤1上的二元连续函数,φ∈C[0,]方程(5)还可以简 单地记为 (-M)x= 这里Ks)=[k(.1)x()t是从C01到C0,上的线性算子由本章第1讲例7可以求得 K的范数,并且当满足C010, 1, xHD.x, 这里C",1是具有n阶连续导数并且满足x°(0)=0,0≤i≤n-1的函数全体.对于空间 C0[0,1应用第一章第3讲例7中的范数,容易验证它是完备的线性赋范空间 首先T是有界的,不妨设mxma(O)≤M,则 ≤max{∑maxx) =max(M,1r 后者即是x在C[0,1中的范数,n是固定的,故T有界 其次,若将方程改写为 的形式,显然④不仅关于各变元是连续的,而且除t之外,φ关于各变元具有有界的一阶

这里λ 是某个常数， K(s,t) 是 0 ≤ s,t ≤1上的二元连续函数，ϕ ∈C[0,1]. 方程(5)还可以简 单地记为 (I − λK)x = ϕ ， (6) 这里 ∫ = 1 0 Kx(s) K(s,t)x(t)dt 是从C[0,1] 到C[0,1] 上的线性算子. 由本章第 1 讲例 7 可以求得 K 的范数，并且当λ 满足 λ K <1 时，令 V : C[0,1] → C[0,1] ，Vx = λKx + ϕ, 则 1 2 1 2 1 2 Vx −Vx = λKx − λKx ≤ λ K x − x 所以 V 是压缩的. 从而在C[0,1] 上有惟一不动点. 它即是方程(6)的解. 这说明对于每个ϕ ∈ C[0,1] ，算子方程(5)存在惟一连续解，从而线性算 I − λK 是C[0,1] 到C[0,1] 的一一映射. 由于C[0,1] 是 Banish 空间，定理 2 说明 1 ( ) − I − λK 是有界的. 换句 话说ϕ 的以C[0,1] 中范数的微小变动，导致相应解 x 的变动也是很小的. 例 2 考虑高阶微分方程的初值问题： (0) 0, 0 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = ≤ ≤ − + + + = − − x i n a t x t y t dt d x t a t dt d x t i n n n n n " (7) 其中 ( ), , ( ) [0,1] a1 t " an t ∈C ．记方程的左端为 D x, n 则 Dn 是 [0,1] (n) C 到C[0,1] 的线性算子. 我们将证明算子方程 D x y n = 关于 y ∈ C[0,1] 具有连续依赖性. 根据初值条件，我们具体地考虑算子 T : [0,1] ( ) 0 n C → [0,1] C0 ， x D x, 6 n 这里 [0,1] ( ) 0 n C 是具有 n 阶连续导数并且满足 (0) 0, 0 1 ( ) x = ≤ i ≤ n − i 的函数全体. 对于空间 [0,1] ( ) 0 n C 应用第一章第 3 讲例 7 中的范数，容易验证它是完备的线性赋范空间. 首先 T 是有界的，不妨设 ai t M i n t ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ max max ( ) 0 0 1 , 则 max{ ,1} . max{ ,1} max ( ) max ( ) 9 1 0 1 M x M x t Tx D x t i t n t = ≤ = ∑ ≤ ≤ ≤ ≤ （8） 后者即是 x 在 [0,1] (n) C 中的范数，n 是固定的，故T 有界. 其次，若将方程改写为 ( , ', , ) ( ) ( −1) = n n x Φ t x " x （9） 的形式，显然Φ 不仅关于各变元是连续的，而且除 t 之外，Φ 关于各变元具有有界的一阶

导数,从而关于这些变元满足 Lipschitz条件由 Picard定理,对于每个y∈C[0,n存在惟 的x∈Co"0,n使之满足Dx=y和初值条件.实际上这个存在和惟一性即说明T是到 上的和一一的.因此由逆算子定理T是连续算子.即Dnx=y的解随y而连续变动 现在让我们转到闭图像定理 定义2(1)设X,F是两个集合,考虑乘积 x×Y={(x,y)Vx∈x,y∈Y} 若T:X→Y是某个映射,则称集合 G(T)={(x,7x),x∈X 是T的图像.显然XxyY中的点(x,y)∈G(T)当且仅当y=7 (2)若X,Y是线性赋范空间,定义 kxy)=+|y(x,y)∈xxy 则得到XxY上的范数,Xxy也是线性赋范空间,此时XxY完备当且仅当X,Y都完备 若T:X→Y是线性算子,则va,B∈ a(x, Tx)+B(, Ty)=(a+ By, alx+ Bly)=(a+ By, T(a+ By)), 所以G(7)是X×y的线性子空间 称T:X→Y是闭算子(闭映射),若G()是X×yY中的闭集 定理3 (1)T:X→Y是闭算子当且仅当对于X中任一序列xn,若xn→x,Ixn→y,则 (2)连续算子是闭算子 证明1°若G()闭,xn∈X,x→>x,Txn→y,则 In, Tx, )-(x,y=, -x +Tx, -yl 这说明在G()中(xn,Txn)→(x,y),G()闭导致(x,y)∈G(T) 反之,若T:X→Y具有所说的性质,(xn,yn)∈G(T),(xn,yn)→(x,y),则 xn-刈+|xn-川=|xn,7xn)-(x,y)→0 于是xn→x,Tx→>y.由所说条件,y=Tx,即(x,y)∈G(m),G()闭 2°设7:X→y连续,若xn→>x,7xn→>y,由T的连续性知道xn→Tx,从而 y=Ix.由1°知G()是闭集,T是闭算子 例3考虑本章第1讲例4(2)中的空间C[0,1和算子D,我们已经知道D不是有界

导数，从而关于这些变元满足 Lipschitz 条件. 由 Picard 定理，对于每个 y ∈ [0,1] C0 存在惟 一的 x ∈ [0,1] ( ) 0 n C 使之满足 D x y n = 和初值条件. 实际上这个存在和惟一性即说明T 是到 上的和一一的. 因此由逆算子定理 −1 T 是连续算子. 即 D x y n = 的解随 y 而连续变动. 现在让我们转到闭图像定理. 定义 2 (1) 设 X,Y 是两个集合，考虑乘积 X × Y = {(x, y); ∀x∈ X, y ∈Y}, 若T : X → Y 是某个映射，则称集合 G(T) = {(x,Tx),∀x∈ X} 是T 的图像. 显然 X × Y 中的点(x, y)∈G(T) 当且仅当 y = Tx. （2） 若 X,Y 是线性赋范空间，定义 ( x, y) = x + y , ∀(x, y)∈ X × Y 则得到 X × Y 上的范数， X × Y 也是线性赋范空间，此时 X × Y 完备当且仅当 X,Y 都完备. 若T : X → Y 是线性算子，则∀α, β ∈Φ, )), α(x,Tx) + β ( y,Ty) = (αx + βy,αTx + βTy) = (αx + βy, T(αx + βy 所以G(T)是 X × Y 的线性子空间. 称T : X → Y 是闭算子（闭映射），若G(T)是 X × Y 中的闭集. 定理 3 (1) T : X → Y 是闭算子当且仅当对于 X 中任一序列 n x ，若 x x,Tx y, n → n → 则 y = Tx . （2） 连续算子是闭算子. 证 明 1° 若G(T)闭， xn ∈ X ， , , n n x → → x Tx y 则 (x ,Tx ) − (x, y) = x − x + Tx − y → 0 n n n n 这说明在G(T)中(x , Tx ) (x, y) n n → ，G(T)闭导致(x, y)∈G(T) . 反之，若T : X → Y 具有所说的性质，(x , y ) G(T ), (x , y ) (x, y) n n ∈ n n → ，则 x − x + Tx − y = (x ,Tx ) − (x, y) → 0 n n n n , 于是 , n n x → → x Tx y . 由所说条件， y = Tx ，即(x, y)∈G(T) ，G(T)闭. 2° 设 T : X → Y 连续，若 , , n n x → → x Tx y 由 T 的连续性知道 Tx Tx, n → 从而 y = Tx ．由 1° 知G(T)是闭集，T 是闭算子. 例 3 考虑本章第 1 讲例 4(2)中的空间 [0,1] ~(1) C 和算子 D ，我们已经知道 D 不是有界

的,但可以证明D是闭算子 实际上,若x,x∈X,|xn-q→0,x2一训→0,,即在ab上,x一致收敛于x,x 致收敛于y.由数学分析中求导与极限符号交换的定理 dx(o) d dx, (o) mx =Im 即Dx=y,所以D是闭算子 定理4(闭图像定理)设XY是 Banach空间,T:X→Y是线性算子,若T是闭算子, 则T连续 证明注意此时XxY是 Banach空间,G()是闭的,从而也是 Banach空间.定义 P:G(T)→X,(x,Tx)x,V(x,7x)∈G(T 则容易验证P是线性的、一一的和到上的.此外 P(x,Tx)|=1|≤kx,rx) 故|P≤1.根据逆算子定理,P1:X→G(),x→(x,Tx)有界,从而 xlx, Tx)=p+=|P脚 思考题 1、设是线性空间x上的两个完备范数,此时若任何x∈X,x一且→x时都 有x 则反过来当 时,必有 2、考察在[O,]上,以下三范数的等价性 l;(3)|=((1+2)xdy

的，但可以证明 D 是闭算子. 实际上，若 x , x X , n ∈ x − x → 0, x '−y → 0 n n ，.即在[a,b] 上， n x 一致收敛于 x , ' n x 一 致收敛于 y . 由数学分析中求导与极限符号交换的定理 ( ). ( ) (lim ( )) lim ( ) y t dt dx t x t dt d dt dx t n n n n = = = →∞ →∞ 即 Dx = y ，所以 D 是闭算子. 定理 4 (闭图像定理) 设 X,Y 是 Banach 空间，T : X → Y 是线性算子， 若T 是闭算子， 则T 连续. 证 明 注意此时 X × Y 是 Banach 空间，G(T)是闭的，从而也是 Banach 空间. 定义 ), P :G(T) → X, (x,Tx) 6 x, ∀(x,Tx)∈G(T 则容易验证 P 是线性的、一一的和到上的. 此外 P(x,Tx) = x ≤ (x,Tx) , 故 P ≤1. 根据逆算子定理， : ( ), ( , ) 1 P X → G T x 6 x Tx − 有界，从而 ( , ) , . 1 1 Tx ≤ x Tx = P x ≤ P x ∀x∈ X − − 即 T P , T −1 ≤ 连续. 思考题 1、设 1 2 i i , 是线性空间 X 上的两个完备范数，此时若任何 1 , n n x ∈ Xx x →i 时都 有 2 n x → x i ，则反过来当 2 n x → x i 时，必有 1 n x → x i . 2、考察在 1 L [0,1]上，以下三范数的等价性： （1） 1 i ; （2） 2 i ; （3） 2 1 1 2 2 0 x = + ( (1 2 ) ( ) ) . t x t dt ∫