第24讲自伴算子的谱论 教学目的:掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点 伴算子数值值域的特征 2自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系 3紧自伴算子的投影算子分解 本节我们讨论复 Hilbert空间上的自伴算子 定理1若H是 Hilbert空间,A∈B(H),A是A的共轭算子 则 p(A)={:A∈p(A)} (A)={:A∈a(A)} (5-3-1) (2)若x是A的相应于A的特征向量,y是A的相应于p的特 征向量,A≠,则x⊥y 证明1°只须证明第一式,若A∈p(A),A-A为正则算子,此 时(-A)=I-A正则,故∈p(A),{:A∈p(A)}cp(A) 但(A')=A,于是{:λ∈p(')}cp(4")=p(A),两端取复共轭 得到p(A)c{A:A∈p(A)},从而得到等式 2°若(-A)x=0,(d-A')y=0,x≠0,y≠0, a(x, y)=(x, y)=(Ax, y)=(x, A'y) =(x,0y)=m(x,y) 于是(-)(x,y)=0,≠,故(x,y)=0.从而x⊥y 定理2设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子
1 第 24 讲 自伴算子的谱论 教学目的：掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点： 1 自伴算子数值值域的特征。 2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系。 3 紧自伴算子的投影算子分解。 本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子. 定理 1 若 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) ， * A 是 A 的共轭算子， 则 (1) ( ) { : ( )} * ρ A = λ λ ∈ ρ A ， ( ) { : ( )} * σ A = λ λ ∈σ A （5-3-1） (2) 若 x 是 A 的相应于 λ 的特征向量，y 是 * A 的相应于 µ 的特 征向量， λ ≠ µ ,则 x ⊥ y . 证明 D 1 只须证明第一式，若 λ ∈ ρ(A) ， λI − A为正则算子，此 时 * ( ) λI − A = * λ I − A 正则， 故 ( ) * λ ∈ ρ A ， * { : ( )} ( ) λλ ρ ρ ∈ ⊂ A A . 但 A = A * * ( ) ，于是 { : ( )} ( ) ( ) * ** λ λ ∈ ρ A ⊂ ρ A = ρ A ，两端取复共轭 得到 ( ) { : ( )} * ρ A ⊂ λ λ ∈ ρ A ，从而得到等式. D 2 若 (λI − A)x = 0 , ( ) 0 * µI − A y = ， x ≠ 0 ， y ≠ 0，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) * λ x y = λx λy = Ax y = x A y = (x,µy) = µ(x, y). 于是 (λ − µ)(x, y) = 0， λ ≠ µ ，故 (x, y) = 0 . 从而 x ⊥ y . 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子
(1)A的谱点都是实数,特别地A的特征值都是实数 (2)对应于不同特征值的特征向量彼此正交 (3)G(A)=∞. 证明1°VA∈C,x∈X,由自伴性, (-A)x,x)-(x、(-A)x)=4|x-(Ax,x)-元|+(x,Ax) =2i lma 这里Imλ是A的虚部.于是 2|ml|≤(/-A)x,x)+(x1(-A)x)≤2(a-)x 或者 K-4)x≥|mx 由此知当Im≠0时A-A是一一的.此外令(-A)x=y,则 (aI-A)ysIm ip'ilblIl (I-A)是有界的.此时AⅠ-A的共轭-A也是一一的,由第四 章§3定理6R(AI-A)=H.根据(4I-A)的有界性 R(Ⅰ-A)=H.于是M-A是正则的.矛盾即说明ImA=0 O(ACR 2A是自伴算子,A=A,若x,y是相应于4,的特征向量, 由1°,,p为实数,≠,既是A≠μ,由定理1(2)即得到所要的 结论 3°若A∈σ,(A),由1°,λ是实数,从而(/-A)*=A-A,由 于R(AI-A)≠H,由第四章§3定理6, N(AI-A)=R(I-A)≠{0} 于是A∈n(A),矛盾 为了更精细地考察自伴算子谱点的特性,我们引进下面概念 定义设H为 Hilbert空间,A∈B(H),称集合 O(A)={(Ax,x):x∈H,‖x|=1} (5-3-2)
2 (1) A 的谱点都是实数,特别地 A 的特征值都是实数. (2) 对应于不同特征值的特征向量彼此正交. (3) () . σ r A = ∅ 证明 D 1 ∀ ∈λ C , x∈ X , 由自伴性, 2 2 2 (( ) , ) ( ,( ) ) ( , ) ( , ) 2 Im I A x x x I A x x Ax x x x Ax i x λ λλ λ λ − − −= − − + = 这里 Imλ 是 λ 的虚部. 于是 2 2 Im (( ) , ) ( ,( ) ) 2 ( ) λλ λ λ x ≤− + − ≤ − I Axx x I Ax I Ax x 或者 ( ) Im . λ λ I − ≥ Ax x 由此知当 Im 0 λ ≠ 时 λI − A是一一的. 此外令 ( ) λI − Ax y = , 则 1 1 ( ) Im λ λ I Ay y − − − ≤ , 1 ( ) λI A − − 是有界的. 此时 λI − A 的共轭 λI − A 也是一一的, 由第四 章 § 3 定 理 6 R( ). λIA H − = 根 据 1 ( ) λI A − − 的有界性 , R( ). λIA H − = 于 是 λI − A 是正则的 . 矛盾即说明 Im 0 λ = , σ () . A R ⊂ D 2 A 是自伴算子， A = A * ，若 x, y 是相应于 λ,µ 的特征向量， 由 D 1 ， λ,µ 为实数， λ ≠ µ ，既是 λ ≠ µ . 由定理 1(2)即得到所要的 结论. 3D 若 ( ), λ ∈σ r A 由 D 1 , λ 是实数, 从而 ( )* λI − A IA = − λ . 由 于 R( ) λIA H − ≠ ,由第四章§3 定理 6, NIA ( ) λ − = RIA ( ) {0}, λ ⊥ − ≠ 于是 ( ), λ ∈σ p A 矛盾. 为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念. 定义 设 H 为 Hilbert 空间， A∈ Β(H) ，称集合 ω(A) = {(Ax, x) : x ∈ H,|| x ||= 1} （5-3-2）
为A的数值值域.称R4=Sup|川为算子A的数值半径 定理3设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 (1)(A)co(A),特别地a(A),O(A)都由实数构成 (2) sup lul‖A‖l 证明 注意(Ax,x)是实数,我们证明若A∈o(A),则 A∈a(A).设d=p(,O(A)=inf|-4|,则d>0.Vx∈H,x≠0 Heo(A) 时 d|xs2-(4( =|A(x,x)-(Ax,x) =|(I-A)x,x) ≤‖(I-A)x|xll 于是 dx|-‖(a-A)xl‖ (5-3-3) 若yn∈R(a-A),y→>y.不妨设yn=(M/-A)xn,这里 xn∈X.由式(5-3-3){xn}是 Cauchy序列,H完备,不妨设xn→>x 由M-A的连续性得到y=(-A)x0,故y0∈R(M-A),R(M-A) 是闭子空间 A/-A是到上的若不然由Rese表现定理,存在y∈H,py=1使 得Vx∈H,(-A)x,y)=0.特别地,(I-A)y,y)=0,于是 ==(4,y)∈(A 与所设矛盾.于是A-A既是一一的,又是到上的,由逆算子定理 (-A)是有界的.所以A∈p(A).(1)成立 2°VH∈o(A),存在x∈H,‖xl=1,μ=(Ax,x).于是 山1=1(4xx)4x=4, 故supl4图‖A‖l
3 为 A 的数值值域. 称 sup | | ( ) µ µ ω A RA ∈ = 为算子 A 的数值半径. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 (1) σ (A) ⊂ ω(A) ，特别地 σ (A)， ω(A)都由实数构成. (2) sup | | || || ( ) A A = ∈ µ µ ω . 证 明 D 1 注 意 ( ,) Ax x 是实数 , 我们证明若 λ ω∈ ( ) A ， 则 λ σ ∈ ( ) A . 设 ( , ( )) inf | | ( ) ρ λ ω λ µ µ ω = = − ∈ A d A ，则 d > 0 . ∀x ∈ H ，x ≠ 0 时 2 2 ) || || || || ), || || || || ( ( x x x x x d x ≤ λ − A = | ( , ) ( , )| λ x x Ax x − = | (( ) , ) | λI − Axx ≤ || ( ) |||| || λI − Ax x . 于是 d || x ||≤|| (λI − A)x || （5-3-3） 若 y R( I A) n ∈ λ − ， n 0 y y → . 不妨设 n n y = (λI − A)x ，这里 xn ∈ X . 由式（5-3-3）{ }n x 是 Cauchy 序列，H 完备，不妨设 n 0 x → x . 由 λI − A的连续性得到 0 0 y = (λI − A)x ，故 ( ) y0 ∈ R λI − A ，R(λI − A) 是闭子空间. λI − A是到上的. 若不然由 Riese 表现定理, 存在 y Hy ∈ , 1 = 使 得 ∀ ∈x H , (( ) , ) 0 λI Axy − = . 特别地, (( ) , ) 0 λI Ayy − = , 于是 2 λλ ω == ∈ y Ay y A ( , ) ( ), 与所设矛盾 . 于 是 λI − A 既是一一的 ,又是到上的 , 由逆算子定理 , 1 ( ) λI A − − 是有界的. 所以 λ ∈ ρ( ). A (1)成立. D 2 ∀µ ∈ω(A) , 存在 x ∈ H ， || x ||= 1， µ = (Ax, x). 于是 2 | | |( , )| µ = ≤= Ax x A x A ， 故 sup | | || || ( ) A A ≤ ∈ µ µ ω
另一方面,设a=Sup|,则|(Ax,x)≤alx2由极化恒等式 4Re(Ax,y)=(A(x+y),x+y)-(4(x-y),x-y) 14Re(Ax,y)|sl(A(x+y),x+y)|+|(4(x-y),x-y) x+y|2+a‖-y|2 2a(lx2+‖y|2) 后者利用了内积空间的平行四边形公式 若Ax≠0,取‖x|=1,y Ax I Ax =(Ax l‖Ax )=Re(Ax Axl‖l (x2 )=a lAx‖ 当Ax=0时,此式自然成立,故‖A|a= sup l 定理得证 定理4设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 M ,n∈ 其中 sup u, m= inf u 证明这里仅证明M∈o(A),对于m∈a(A)可类似证之 设B=M-A,则 (Bx, x)=M(x, x)-(Ax, x), VxE H 根据M的定义,显然(Bx,x)≥0并且 现在,若t是任一实数,则 (B(Bx+x),tBx+x)≥0
4 另一方面，设 sup | | ( ) µ µ ω A a ∈ = ，则 2 | ( , ) | || || Ax x a x ≤ .由极化恒等式 知 4Re(Ax, y) = (A(x + y), x + y) − (A(x − y), x − y) 于是 | 4Re( , ) | | ( ( ), ) | | ( ( ), ) | Axy Ax y x y Ax y x y ≤ + ++ − − 2 2 ≤ a || x + y || +a || x − y || 2 (|| || || || ) 2 2 = a x + y . 后者利用了内积空间的平行四边形公式. 若 Ax ≠ 0 ,取 || x ||= 1, || Ax || Ax y = 则 || || ( , ) Re( , ) || || || || Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax = = a Ax Ax x a ≤ + ) = || || || || (|| || 2 2 2 2 当 Ax = 0 时，此式自然成立，故 || || sup | | ( ) µ µ ω A A a ∈ ≤ = . 定理得证. 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 M ,m ∈σ (A) , 其中 µ µ ω( ) sup A M ∈ = ， µ µ ω( ) inf A m ∈ = ， 证明 这里仅证明 M ∈σ (A) ，对于 m ∈σ (A)可类似证之. 设 B = MI − A，则 (Bx, x) = M (x, x) − (Ax, x) , ∀x ∈ H . 根据 M 的定义,显然 (Bx, x) ≥ 0并且 inf ( , ) 0 || || 1 = = Bx x x . (5-3-4) 现在,若 t 是任一实数, 则 (B(tBx + x),tBx + x) ≥ 0
t-(B x, Bx)+r(Bx, Bx)+t(Bx, x)+(Bx, x)20 由B的自伴性得到 t(B-x, Bx)+ 2t( Bx, Bx)+(Bx, x)20 各项系数均为实数,故 (Bx, Bx)20,使得 vx∈H,‖Bx|叫l‖x.从而intf‖Bx|a>0,与(5-3-6)矛盾,故 M∈a(A) 推论设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子若r4是A 的谱半径,R4是A的数值半径,厂是AA的谱半径,则 R4引A‖ (2)r,引A|2 A 证明°实际上由定理4,max(M|m)≤sup|A|=r,故 p=max(M|mD)≤r4 但显然P4=Sup| ak sup I=R4.再由定理3得到 R4=A‖ 2°注意到A'A是自伴算子,由1得到 =AA|=A‖2 后一等式是根据第四章§3定理6(4) 例1设H是 Hilbert空间,E∈H是闭子空间,E≠{0},H.考
5 即 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + t B x x + Bx x ≥ 由 B 的自伴性得到 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + Bx x ≥ 各项系数均为实数,故 ( , ) ( , )( , ) 2 2 Bx Bx ≤ B x Bx Bx x (5-3-5) 于是 || || ( , ) || || || || | ( , ) | 4 2 3 2 Bx = Bx Bx ≤ B x Bx x , 由(5-3-4), inf || || 0 || || 1 = = Bx x (5-3-6) 若 B 是一一的并且到上的 , 由本章§1 定 理 1, 存 在 a > 0 , 使 得 ∀x ∈ H , || Bx ||≥ a || x || . 从 而 inf || || 0 || || 1 ≥ > = Bx a x , 与 (5-3-6) 矛 盾 , 故 M ∈σ (A) . 推 论 设 H 是 Hilbert 空间，A∈ Β(H) 是自伴算子. 若 Ar 是 A 的谱半径, RA 是 A 的数值半径, A A r * 是 A A * 的谱半径, 则 (1) r R || A || A = A = (2) 2 || || r * A A A = 证 明 D 1 实际上由定理 4, ( ) max( ,| |) sup | | A A M m r λ σ λ ∈ ≤ = , 故 A A A R = = M m ≤ r ∈ sup | | max(| |,| |) ( ) µ µ ω 但显然 A A A rA = ≤ = R ∈ ∈ sup | | sup | | ( ) ( ) λ µ λ σ µ ω . 再由定理 3 得 到 r R || A || A = A = . D 2 注意到 A A * 是自伴算子, 由 D 1 得到 * 2 || || || || r * A A A A A = = . 后一等式是根据第四章§3 定理 6(4). 例1 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 是闭子空间, E ≠ {0}, . H 考
虑投影算子P:H→E,由于H=E⊕E,E≠{0},故存在 x∈E,|x=1,(Px,x)=|Px=x=1.又存在x∈E,|=1 Px=0,(Px,x)=0.于是0≤(Px,x)≤1.由定理4, {0,1}ca(P)c[0,1 上述事实也可以写成(I-P)x=0或Px=0,于是0,1∈Gn(P) 若00.相应地存在规范正交序列{en},使得 Aen=lnen并且对于每个x∈H 6
6 虑投影算子 PH E : , → 由 于 H E EE, {0}, ⊥ ⊥ =⊕ ≠ 故存在 x Ex ∈ = , 1, 2 2 ( ,) Px x Px x = = =1 . 又存在 x E , ⊥ ∈ x =1, Px Px x = = 0, ( , ) 0. 于是 0 ( , ) 1. ≤ Px x ≤ 由定理 4, {0,1} ( ) [0,1]. ⊂ ⊂ σ P 上述事实也可以写成 ( )0 I Px − = 或 Px = 0 , 于是 0,1 ( ). ∈σ p P 若 1 2 0 1, << = + λ x x x 是正交分解 , 1 2 x ∈ Ex E , ⊥ , 则 ( )0 λI Px − = 即 1 ( 1) λ − x 2 +λx = 0 , 故必有 1 2 x = x x IP == − 0, λ 是 一一的. 另一方面, ∀ ∈y H, 若 1 2 yy y = + 是到 E 的正交分解, 取 1 2 1 y y x λ λ = + − , 则 ( ) λI − = Px y , λI − P 是到上的 . 于 是 λ ∈ ρ( ). P 总之 ( ) ( ) {0,1}. σ P P = σ p = 下面我们讨论紧自伴算子的谱. 定理 5 设 H 是 Hilbert 空间，A 是紧自伴算子. M ,m 如定理 4, 若 M ≠ 0 (或 m ≠ 0 ), 则 M (或 m )是 A 的特征值. 证 明 现只证 M , 对于 m 可类似证明之. 设 M ≠ 0 ，记 B = MI − A，由定理 4 的证明知道（5-3-6）成立. 故 存 在 xn ∈ H ， || xn ||= 1 ， lim || ||= 0 →∞ n n Bx . A 紧，于是有子列 nk x ， 0 k A n x x → . 由 Bxn = Mxn − Axn 知 0 k M n x x → ，于是 Ax0 = lim k k n n MAx →∞ M 0 = x . 又 0 || || lim || || 0 k n k x Mx M →∞ = = ≠ ， 故 M 是 A 的特征 值, ( ) M ∈σ p A . 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间， A 是紧自共伴算子. (1) 存在有限或无穷非零实数序列{ } λn , λn 是 A 的特征值, 1 2 | || | λ ≥ ≥ λ "". 若 { } λn 是无穷的 , 则 0 λn → . 相应地存在规范正交序列 { }n e ,使 得 n n n Ae = λ e 并且对于每个 x ∈ H
Ax=∑n(x,en)e (5-3-7) (2)若P是H到由en张成的线性子空间上的投影算子,则 ∑ (3)若0不是A的特征值,则{en:n≥1}是H的正交基 证明°不妨设A≠0,若A1=max{M|m}引A‖,由定理 5,A1是特征值.设e1是相应的特征向量,‖l1‖=1,Ae1=λ1e1令 Q1=spom{e1},H1={x∈Hx⊥e1},则Q1,H1是H的闭线性子空间 并且A(H1)cH1.实际上,若x∈H1,则 (Ax,e1)=(x,Ae1)=1(x,e1)=0 所以Ax∈H1 于是H1仍然为 Hilbert空间定义A1=Al,显然A仍是在H1上 的紧自共轭算子若A1=0,则x∈H,根据投影定理,x=q1+h,其 中q1∈Q1,h1∈H1.此时 0 A1(q1:e1)e1=A(x,e1)e 若A1≠0,则‖A1|≠0.取2=‖A1|0,此 丨A|=‖!A‖≥‖Al,‖=‖A‖=λ|,由定理5,2为特征值.不妨设 e2∈H1,‖le2l=1,Ae2=2e2 Q2= spanie1,e2},H2={x∈H:x⊥Q2} 此时同样有A(H2)cH2.若A2=A1|,=0,类似于上面的证明 λ(x,e1)e1+A2(x,e2)e2 若A2≠0,继续以上过程作出A3,…,如果在有限次之后,有 An=0,则 4x=∑4(x,e) (5-3-9)
7 n n n n Ax (x,e )e 1 ∑ ∞ = = λ (5-3-7) (2) 若 Pn 是 H 到由 n e 张成的线性子空间上的投影算子,则 ∑ ∞ = = n 1 A λnPn (5-3-8) (3) 若 0 不是 A 的特征值, 则{e : n ≥ 1} n 是 H 的正交基. 证明 D 1 不妨设 A ≠ 0 , 若 λ1 = max{| |,| |} || || M m A = ,由定理 5, λ1 是特征值 . 设 1 e 是相应的特征向量 , || || 1 e1 = , 1 1 1 Ae = λ e . 令 { } 1 1 Q = span e , { : } 1 1 H = x ∈ H x ⊥ e ,则 Q1 , H1 是 H 的闭线性子空间, 并且 1 1 A(H ) ⊂ H . 实际上,若 H1 x ∈ , 则 ( , ) ( , ) ( , ) 0 Ax e1 = x Ae1 = λ1 x e1 = . 所以 Ax ∈ H1 . 于是 H1 仍然为 Hilbert 空间.定义 ! | A1 = A H , 显然 A1仍是在 H1 上 的紧自共轭算子.若 0 A1 = , 则 ∀x ∈ H , 根据投影定理, 1 1 x = q + h , 其 中 1 Q1 q ∈ , 1 H1 h ∈ . 此时 0 Ax = Aq1 + Ah1 = λ1q1 + 1 1 1 1 1 1 1 = λ (q ,e )e = λ (x, e )e 若 0 A1 ≠ , 则 || || 0 A1 ≠ . 取 || || 0 λ2 = A1 > , 此 时 1 1 12 | | || || || | || || || | | λ =≥ = = AA A H λ , 由定理 5, λ2 为特征值 . 不妨设 2 H1 e ∈ , || || 1 e2 = , 1 2 2 2 A e = λ e , { , } 2 1 2 Q = span e e , { : } 2 Q2 H = x ∈ H x ⊥ , 此时同样有 2 2 A(H ) ⊂ H . 若 | 0 2 1 2 A = A H = , 类似于上面的证明 1 1 1 2 2 2 Ax = λ (x, e )e + λ (x, e )e , ∀x ∈ H , 若 0 A2 ≠ , 继续以上过程作出 A3 ," , 如果在有限次之后 , 有 An = 0 , 则 i i n i i Ax (x,e )e 1 ∑= = λ (5-3-9)
定理6(1)成立.否则,{n}是无穷的,并且|A|2|2|2…由Qn 与Hn的定义,对应的特征向量{en}两两正交,其中Aen=nen,此时 必有→0.若不然,例如|n6>0对于无穷多个n成立,由于 Aen⊥Aen(n≠m),则 lAen-Aen=l‖Aen2+l‖Aen‖2 =nP+|n1|2≥202>0 与A的紧性矛盾 现在设Q2=pum{en:n≥1},H。={x∈Hx⊥旦},则A|=0 实际上若x∈H。,x⊥Q。从而x⊥Qn,x∈H(n=1,2,),则 (HCH (Ax,x)(A|)x,x)A|,Ⅲx2=4n‖x→>0 于是x∈H,(Ax,x)=0.将A看成 Hilbert空间H。上的自共轭算子 直接应用极化恒等式得到A|B=0.Vx∈H,令x=q+h,其中 ∈Qn,h。∈H2,则 A∑(q=,en)en) ∑(qn,en)Aen a, (g, en)e A,(x, e )e 2°设P是从H到由en张成的线性子空间上的投影算子,则 若A1,…乙。为有限多个,由式(5-3-9) Ax=∑(x,)1=∑P)x 于是 A=∑λP
8 定理 6(1)成立. 否则, { } λn 是无穷的, 并且 1 2 | || | λ ≥ ≥ λ ". 由 Qn 与 Hn 的定义, 对应的特征向量 { }n e 两两正交,其中 n n n Ae = λ e . 此时 必有 0 λn → . 若不然, 例如 | λn |≥ δ > 0 对于无穷多个 n 成立, 由于 Ae Ae (n m) n ⊥ m ≠ , 则 22 2 || || || || || || Ae Ae Ae Ae nm n m −= + | | | | 2 0 2 2 2 = λn + λ m ≥ δ > 与 A 的紧性矛盾. 现在设 = { : ≥ 1} ∞ Q span e n n , { : } ∞ = ∈ ⊥ Q∞ H x H x ,则 | = 0 H∞ A . 实际上若 ∈ H∞ x , ⊥ Q∞ x 从 而 Qn x ⊥ , x ∈ H (n = 1,2,") n , 则 A Hn ⊂ Hn ( ) , 2 (Ax, x)((A | )x, x) || A | |||| x || H Hn ≤ ∞ 2 | ||| || 0 n = λ x → . 于是 ∀ ∈ H∞ x , (Ax, x) = 0 . 将 A 看成 Hilbert 空间 H∞ 上的自共轭算子, 直接应用极化恒等式得到 | = 0 H∞ A . ∀x ∈ H , 令 = ∞ + ∞ x q h , 其中 ∞ ∈Q∞ q , ∞ ∈ H∞ h , 则 Ax Aq Ah = ∞ + ∞ ∑ ∞ = = ∞ + 1 ( ( , ) ) 0 n n n A q e e ∑ ∞ = = ∞ 1 ( , ) n n Aen q e ∑ ∞ = = ∞ 1 ( , ) n n n n λ q e e ∑ ∞ = = 1 ( , ) n n n n λ x e e D 2 设 Pn 是从 H 到由 n e 张成的线性子空间上的投影算子, 则 n n n P x = (x,e )e . 若 λ λn , , 1 " 为有限多个, 由式(5-3-9) Ax x e e P x n i i i i i n i i( , ) ( ) 1 1 ∑ ∑ = = = λ = λ , 于是 ∑= = n i A iPi 1 λ
若{n}是无穷的,则 l4-∑P=sup4x-∑Px1 p∑(xe,)e, up∑|41(x ≤12- 1 sup∑|(x,e)P ≤|L2n1P A=lm∑1P=∑P 3°若0不是A的特征值,A是一一映射.Vx∈H,若 =∑(xn)n=0,由此得到x=0.由 第四章§1定理6,{en:n≥1}是H的正交基 例2对于第二型 Fredholm积分方程 x(o=K(t, s)x(s)ds +y(o) 5-3-10) 其中K作为二元函数在a≤1,S≤b上平方可积,y∈L[a,b],A≠0 (5-3-10)可以简单地记为 (--AAx=y )x=2-y),其中 Ax()=「K(t,s)x(s)ds,x∈lab 即使第二型 Fredholm积分算子.由第三章§3的知识,A是紧算子.当 K(s,1)=K(t,s)时,A是自伴算子,现在假定A是非0自伴算子 由于A是紧的,根据上节的知识,要么(5-3-11)对于任何 y∈L[a,b]有唯一解,要么齐次方程(-AA)x=0有非0解,在前
9 若{ } λn 是无穷的, 则 2 1 || || 1 2 1 || ∑ || sup || ∑ || = = = − = − n i i i x n i i i A λ P Ax λ P x 2 1 || || 1 sup || ∑ ( , ) || ∞ = = + = i n i i i x λ x e e 2 1 2 || || 1 sup ∑| | | ( , ) | ∞ = = + ≤ i n i i x λ x e 2 2 1 || || 1 1 | | sup | ( , ) | n i x i n λ x e ∞ + = = + ≤ ∑ 2 1 | |0 ≤ λn+ → 故 ∑ ∑ ∞ = = →∞ = = 1 1 lim i i i n i i i n A λ P λ P . D 3 若 0 不 是 A 的特征值 , A 是一一映射 . ∀x ∈ H , 若 x ⊥ e (n = 1,2,") n , 则 1 (, ) 0 n nn n Ax x e e λ ∞ = = ∑ = , 由此得到 x = 0 . 由 第四章§1 定理 6, {e : n ≥ 1} n 是 H 的正交基. 例2 对于第二型 Fredholm 积分方程 x( )t = 1 0 λ K t s x s ds y t (, ) ( ) () + ∫ (5-3-10) 其中 K 作为二元函数在 a ts b ≤ , ≤ 上平方可积, 2 y L ab ∈ [,] , λ ≠ 0 . (5-3-10)可以简单地记为 ( ) I − λAx y = (5-3-11) (或( 1 1 λ I Ax y ) λ − − − = )), 其中 Ax t( ) = 1 0 K t s x s ds (, ) ( ) ∫ , 2 ∀ ∈x L ab [,] 即使第二型 Fredholm 积分算子. 由第三章§3 的知识, A 是紧算子. 当 K st Kts (,) (, ) = 时, A 是自伴算子. 现在假定 A 是非 0 自伴算子. 由 于 A 是紧的 , 根据上节的知识 , 要 么 (5-3-11) 对于任何 2 y L ab ∈ [,] 有唯一解, 要么齐次方程 ( )0 I Ax − λ = 有非 0 解. 在前一
种情况,根据自伴性,存在至多可列个实数≠,L是A的特征值, 以及相应的特征向量n,利用正交化方法,不妨设{n;n≥1就是规 范正交系,显然{nn≥1还是正交基.于是由定理6 Ax=∑(Axn=∑(x9,Wx∈b 其中级数按照D中范数收敛.将(5-3-11)两端关于qn取内积得到 (1-n)x,9n)=(y,)或(x,9)=(1-1n)(y,9n 所以 9n=∑(1-2)(9n 是(5-3-11)的解 在第二种情况,对应地有若干个元=1,而相应地(y,n)=0 直接验证表明形如 ∑cg+∑(1-况)-(yg 的函数都是(5-3-11)的解,其中Cn是任意常数
10 种情况, 根据自伴性, 存在至多可列个实数 , λn ≠ λ λn 是 A 的特征值, 以及相应的特征向量 ϕn , 利用正交化方法, 不妨设 { ; 1} n ϕ n ≥ 就是规 范正交系, 显然{ ; 1} n ϕ n ≥ 还是正交基. 于是由定理 6 2 1 1 ( , ) (, ) , [,] nn n nn n n Ax Ax x x L a b ϕϕ λ ϕϕ ∞ ∞ = = = = ∀∈ ∑ ∑ 其中级数按照 2 L 中范数收敛. 将(5-3-11)两端关于 ϕn 取内积得到 (1 )( , ) ( , ) nn n − = λλϕ ϕ x y 或 1 ( , ) (1 ) ( , ) n nn x y ϕ λλ ϕ − = − 所以 ϕ = 1 1 1 ( , ) (1 ) ( , ) nn n nn n n ϕ ϕ ϕ λλ ϕ ϕ y ∞ ∞ − = = ∑ ∑= − 是(5-3-11)的解. 在第二种情况, 对应地有若干个 1, λnλ = 而相应地 ( , ) 0, n y ϕ = 直接验证表明形如 1 1 1 (1 ) ( , ) n n nn n n n c y λλ λλ ϕ ϕ λλ ϕ ϕ − = ≠ = +− ∑ ∑ 的函数都是(5-3-11)的解, 其中 n c 是任意常数