第六章微分中值定理及其应用 ★★★ 拉格朗日定理和函数的单调性 §2桓西中值定理及不定式极限 焘勒公式 ★§5函数的凹凸性与拐点 ☆§6函数图象的过论
§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理及不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最值 §5 函数的凹凸性与拐点 §6 函数图象的讨论
第六章微分中值定理及其应 §1拉格朗日定理和函数的单调性
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
问题的提出 我们知道,导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型,它反映的是函数在一点处的局 部变化性态,但在理论研究和实际应用中,常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态, 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢?中值定理正是对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型,又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型
一 问题的提出 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型
微分中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日( Lagrange) 中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理 是它的特例,柯西定理是它的推广。 l预备定理—费马( Fermat)定理 若函数f(x)在(a,b内一点x取得最值, 且f(x)在点x可微,则∫(x)=0 费马( Fermat,1601-1665),法国人,与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世
二 微分中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。 1 预备定理——费马（Fermat）定理 ( ) ( ) 0. ( ) ( , ) 0 0 0 f x x f x = f x a b x 且 在 点 可微，则 若函数 在 内一点 取得最值， 费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世
几何解释: f(r) 曲线在最高点和最低点 显然有水平切线,其斜 率为,当切线沿曲线连可a:2bx 续滑动时,就必然经过 位于水平位置的那一点
x y o y = f (x) a b 1 2 ab 几何解释: . 0 位于水平位置的那一点 续滑动时，就必然经过 率 为 ，当切线沿曲线连 显然有水平切线，其斜 曲线在最高点和最低点
证明:只就f(x)在x达到最大值证明 由于f(x)在x达到最大值,所以只要。+在(a,b内, 就有f(x+△x)≤f(x1即f(x+△x)-f(x)≤0 从而(xn+A)-f(x)≤0当△>时; f(x0+△x)-f(x) ≥0,当Ax<0时; △y 这样f(x+0)=lim f(x+△x)-∫(x0) ≤0 (o-0)= lim f(o+Ax)-f(o 20 →0 所以f(x0)=0
证明: 只就f (x)在x0 达到最大值证明。 ( ) ( ), ( ) ( , ) , 0 0 0 0 f x x f x f x x x x a b + + 就 有 由 于 在 达到最大值，所以只要 在 内 ( ) ( ) 0, 即 f x0 + x − f x0 0, 0 ; ( ) ( ) 从 而 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0, 0 ; ( ) ( ) 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0 ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − + = → + x f x x f x f x 这 样 0. ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − − = → − x f x x f x f x 所以f (x0 ) = 0
2罗尔(Ro|e)定理 罗尔( Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间{a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 5(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f(ξ)=0 y=f(x) 几何解释 1 在曲线弧4B上至少有一点C,在该点处的切线是水增
几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的. C 2 罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
证∵f(x)在|a,b]连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得f(x)=0.Vξ∈(a,b),都有∫(2)=0 (2)若M≠m.∵f(a)=f(b), 最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a 则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(4)=M ∫(号+Δx)≤∫(),∴∫(ξ+△x)-f(ξ)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若△x>0,则有5+△)-f()∠ △y 若Ax<0.,则有(5+A)-(5)20 △ f(5)= lim f(E+△x)-∫(8z ∧→)-0 △ ∫1(2)=lim ∫(5+△x)-∫(5) ≤0;∵∫′(ξ)存在, △→+0 △J ∫()=∫1(8).∴只有∫'(2)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=|x,x∈|-1 注2:若罗尔定理的条件仅 1 X 是充分条件,不是必要的 例如, 1<x<1 f(x)= 0 f"(0)=0
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x [−1,1]; 例如, X Y -1 1 注 0 2:若罗尔定理的条件仅 是充分条件，不是必要的. = = 0 1 -1 1 ( ) 2 x x x f x f (0) = 0