第二十二章曲面积分 ★§1第一型曲面积分 ★§2第二型曲面积分 3高斯( Gaussi公式
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯(Gauss)公式
第二十二章曲面积分 §1第一型曲面积分
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分
概念的引入 实例若曲配是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动 20
一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
、概念的引入 实例2 p(x,y,x)三 分割n△S;△S;也 i块曲面的面积 2000 取近似V(5,n,5)∈△S △M;≈p(5,m;5)·△S 求和M≈∑p(5,m;5;)△S 取极限M=lim∑p(41,m,h;)△S 1-0=1
一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连续函数 (x, y,z), 求它的质量. 实例 分割 取近似 求和 ( , , ) . 1 = n i M i i i Si 取极限 lim ( , , ) . 1 0 → = = n i M i i i Si 把分成n小块Si（Si也 表示第i小块曲面的面积）. ( i ,i , i )Si i i i i i M ( , , ) S
二、对面积的曲面积分的定义 1.定义曲面∑是光滑的f(x,y,z)∑ ∑ 分成n小块△S;△S;同时也i (951,n;5;)△Sz f(5,;5;)·△S;∑f(5;,m1,51)AS →0 f(x,y, 2) ∑对 面积的曲面积分第一类曲面积分 被积函数 f(x, y, z)ds Ⅱf(x,y2dS=mm∑f(5,m,5△S 积分曲面<(Σ
二、对面积的曲面积分的定义 设曲面是光滑的, 函 数 f (x, y,z)在上有界.把 分 成n小 块Si（Si同时也表示第i小块曲面的面 积 ）,设 点( , , ) i i i 为Si上任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和 = n i i i i f 1 ( , , ) Si , 若当各小块曲面直径的最大值 → 0时, 和式的极 限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z)在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记 为 1.定义 f (x, y,z)dS. 即 f (x, y,z)d S i i i n i = f i S → = lim ( , , ) 1 0 被积函数 积分曲面
2对面积的曲面积分的性质 1)』0(x,,x)ds=k』(x,x)aS; (2)If(x,y, z)+g(x, y, z)]ds ∫f(x,y,z)S+』g(x,y,z)s (3)若Σ可分为分片光滑的曲面∑及∑2,则 ∫f(x,y,z)s=」f(x,y,x)S+』g(x,y,x)dS 特别,当f(x,y,x)≡1时,∫=的面积
2.对面积的曲面积分的性质 (3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 (1) ( , , ) ( , , ) ; kf x y z dS = k f x y z dS (2) [ f (x, y,z) + g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) ; = f x y z dS + g x y z dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2 f x y z dS = f x y z dS + g x y z dS 特别， = 的面积。 当 f (x, y,z) 1时， dS
、计算法 Σ:z=(x,y) 1.若曲面∑:z=z(x,y); 5,7;5) AS≈√1+2(5,m)+2(5,m)(0),/。 ,m) (△G;) ∫f(x,y,z)S=lm∑f(5,mn,5;)△S im∑m5;,n,x(5,n)1+x2(5,m)+x15,mn)(△a) 2→)0 ∫1x,y,(x,y)
三、计算法 1. 若曲面 : z = z(x, y); 1 ( , ) ( , ) ( ) , 2 2 i x i i y i i i xy S + z + z i xy ( ) ( , ) i i Si x y z : z = z(x, y) o ( , , ) i i i 则 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S → = lim ( , , ) 1 0 → = = + + n i i i i i x i i y i i i xy f z z z 1 2 2 0 lim [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) ( ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dx y x y = + +
若曲面Σ:z=z(x,y);则 f(x,y, z)ds fIx,y, (x, y)11+zx+zy dxdy 投:将曲面Σ向xy面投影,得Dy 二换:aS=1+2(x,y)+x3x,y)d 三代:f(x,,2:z=x(x,f(x,y,z(x,y);
( , , ( , )); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z x y z = z x y 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS z x y z x y dxdy = + x + y . Dxy 将曲面 向 xoy 面投影，得 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z d S f x y z x y z z dxdy Dx y x y = + + 1. 若曲面 : z = z(x, y); 则 三代： 二换： 一投：
2.若曲面∑:y=y(x,z)则 ∫(x,y)s=』/x,y(x,x,l1+y2+y2adt 投:将曲面Σ向xz面投影,得Dxz 二换:S=√+y2(x,x)+y2(x,x)th; 代:f(x,y,z) ∑:y=y(x,z) f(x, y(x, 2), 2);
[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dx z x z = + + f (x, y,z)dS ( , ( , ), ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y x z z y = y x z 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS y x z y x z dxdz = + x + z . 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz 则 三代： 二换： 一投： 2. 若曲面 ： y = y ( x,z )
3.若曲面∑:x=x(y,z)则 SSf(x, J, z)dS=5[x(, 2), ),z1v/+xy2+x2 dydz. 投:将曲面Σ向yoz面投影,得Dpz 二换:S=√1+x2(y)+x2(y,)dt 三代:f(x,,:x=x(0,) f(x(, 2),y, )
[ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z = + + f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 三代： ( ( , ), , ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z y z x = x y z 二换： 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS x y z x y z dydz = + y + z 一投： . Dyz 将曲面 向 yoz 面投影，得
