第四章函数的连续性 A1连续性概念 ★§2连续函数的性质 ★§3闭区间上连续函数的性质
§1 连续性概念 §2 连续函数的性质 §3 闭区间上连续函数的性质
第四章函数的连续性 §1连续性概念
§1 连续性概念
引例求下列函数在x=1处的函数值和极限,并作出图象。 x f(x)=(x+1)2、g(x) 解:1、lmnf(x)=m(x+1)=22、m8(x)=m im(x+1)=2 x-)1 x g(1)不存在 图象: 图象: g(x) f(x)=x+1 x-1 2 (1,2) 2(1,2) X X 从图象上看,f(x)在x=1处“连续g()x租处“间
解：1、 lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 = + = → → f x x x x y 1 2 0 1 2 x f (x) = x +1 2、 ( 1) 2 1 1 lim ( ) lim lim 1 2 1 1 = + = − − = → → → x x x g x x x x 1 1 ( ) 2 − − = x x g x (1,2) 从图象上看， 在 处“连续” ， 在 处“间 断” 。 f (x) x =1 g(x) x =1 1、 f (x) = (x +1) 2、 ， 1 1 ( ) 2 − − = x x g x 引例 求下列函数在 x =1 处的函数值和极限，并作出图象。 f (1) = 2 g(1)不存在 图象： 图象： y x 0 1 1 2 2 (1,2)
函数的连续性 ◆函数的增量 设函数yf(x)在点x的某一个邻域l(x0)内有定义 在邻域U(x)内,若自变量x从初值x变到终值x1 则称Dx=x1-x为自变量x的增量 y=(x0 称Df(x+Dx)-f(x)为函数的增量 f(x0+△x) SaXo o x0+△xx
函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0 )内有定义 称Dy=f(x0 +Dx)-f(x0 )为函数y的增量 在邻域U(x0 )内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1 -x0为自变量x的增量 Dx Dy ◆ 函数的增量
、函数连续性的概念 函数的改变量(增量) 当变量x由初值x变到终值x时,称终值与初值 的差x1-x为变量x的改变量(增量),记为△x, △x=x,-x 设有函数y=f(x),在函数定义域内,当x从x 变到x+△x时,函数y相应地从f(x)变到f(x+△x) 称△y=f(x+△x)-f(x 为函数y=f(x)在x处的改变量(增量)
◆ 函数的改变量（增量） 设有函数 ，在函数定义域内，当 从 变到 时，函数 相应地从 变到 称 为函数 y = f (x) 在 处的改变量（增量）。 x x + Dx 0 y ( ) 0 f x ( ) 0 f x + Dx ( ) ( ) 0 0 Dy = f x + Dx − f x y = f (x) 0 x 0 x 当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值 的差 为变量 的改变量（增量），记为 ， 即 x 0 x 1 x 1 0 x − x Dx 1 0 Dx = x − x x 一、函数连续性的概念
2、函数在一点处的连续性 定义如果 1)函数y=f(x)在x处及其近旁有定义; 2)lmf(x)存在; x→>x 3) lim f(x)=f(ro) 那么称函数f(x)在点x处连续,点x称为函数f(x) 的连续点
那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。 f (x) 0 x 0 x f (x) 2、函数在一点处的连续性 定义 如果 （1）函数 y = f (x) 在 x0 处及其近旁有定义； （2） x lim →x0 f (x) 存在； （3） ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = →
2、函数在一点处的连续性 设函数y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=f(x)在点x处连续 提示:△y=x+△x)/x) 设x=x0+△x,则当Ax→>0时,x->x,因此 imy=0今lim[f(x)-f(x)=0今imf(x)=f(x) △x->0 X-x
提示: lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 设x=x0+Dx 则当Dx→0时 x→x0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → Dy=f(x0+Dx)−f(x0 ) lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
2、函数在一点处的连续性 设函数y=x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=fx)在点x处连续 讨论 如何用sδ语言叙述函数的连续性定义? 提示 lim f(x)=f(ro) 台VE>0,30>0,当x-x<,有(x)/(x0)<E
讨论: 如何用e−d 语言叙述函数的连续性定义？ e >0 d >0 当|x−x0 |<d 有|f(x)−f(x0 )|<e 提示: lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
2、函数在一点处的连续性 设函数y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=f(x)在点x处连续 左连续与右连续 如果limf(x)=f(x0),则称yf(x)在点x0处左连续 如果limf(x)=f(x),则称y=f(x)在点x处右连续 x→>x0 结论 函数y=f(x)在点x处连续令函数f(x)在点x处左连续且右 连续
• 左连续与右连续 •结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右 连续 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 则称 y=f(x)在点 0 x 处左连续 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + 则称 y=f(x)在点 0 x 处右连续 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
3、函数在区间上的连续性 (1)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续, 称函数f(x)在(a,b)内连续 (2)函数的左连续、右连续:设函数y=f(x)在x0处 及其左(或右)近旁有定义,如果limf(x)=f(x0) (或lmf(x)=f(x)),那么称函数f(x)在x左连 续(或右连续) 如果f(x)在开区间(a,b)内连续,且在右端点b 处左连续,在左端点a处右连续,那么称函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续。 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线
（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。 y = f (x) 0 x ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = → − ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = → + f (x) 0 x （1）如果函数 在开区间 内每一点都连续， 称函数 在 内连续。 f (x) f (x) (a,b) (a,b) 3、函数在区间上的连续性 如果 在开区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在 闭区间 上连续。 f (x) (a,b) b a f (x) [a,b] 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线