二意函激刚与 食§1函数项级数的概念二 食§2函数项级数的一致收敛性 食§3一致收敛级数的性质
§1 函数项级数的概念 §2 函数项级数的一致收敛性 §3 一致收敛级数的性质
三一函数列与了级 §1函数项级数的概念
§1 函数项级数的概念
函数项级数的一般概念 定义: 设u1(x),u2(x),,un(x)是定义在IcR上的 函数则∑u1(x)=1(x)+n2(x)+…+l1(x)+ =1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x"=1+x+x2+ =0
函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n
2.收敛点与收敛域 如果x∈I数项级数∑un(x)收敛 1= 则称x为级数∑u1(x)的收敛点,否则称为发散点 函数项级数∑u1(x)的所有收敛点的全体称为收鲛域, 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数(x) 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+Ln(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x), lim s(x)=s(x) n→0 余项rn(x)=(x)-Sn(x) limr(x)=0在收敛域上) n→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
例1求级数y(1)”,1 mn1+、)”的收敛域 解由达朗贝尔判别法 unn(x) ()n+11+xn (n→>∞) x (1)当,1 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1
(2)当 1+x 1,→1+x<, 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或c=-2, 当x=0时,级数∑(收敛; H=1 oo 当x=-2时,级数∑发散; H=1 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+∞)
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
三一函数列与系了 §2函数项级数的一致收敛性
§2 函数项级数的一致收敛性
问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢?对于幂函数是这样的,那么对 于一般的函数项级数是否如此?
一、问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 问题:
例1考察函数项级数 x+(x2-x)+(x 3 y-)+∴+(x 十 和函数的连续性 解因为该级数每一项都在[0,1是连续的, 且s(x)=x",得和函数: s(x)=Ims(DJ0,0≤x<1, n→0 x=1 和函数(x)在x=1处间断
解 ( ) , n 且 s n x = x 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， = = = → 1, 1. 0, 0 1, ( ) lim ( ) x x s x s n x n 和函数s(x)在 x = 1处间断. 例1 考察函数项级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 和函数的连续性．