习题22 1.验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解 (2)(cos r+i)dr +(i (3)(5x4+3xy2-y3)dx 2)dy=0 (5)出=一 (9)3y+e2+(3x+cosy)#=0. (2)这里M(x,y)=csx+,N(x,y)=-吾,由于 1 ON 所以这是一个恰当方程.取x0=0,=1,可计算出 U(a, y)=/(cos r+=dr+/=dy sin r+-+In lyl 故该方程的通解为sinx+要+lnly=C,其中C为任意常数 (3)这里M(x,y)=5x2+3xy2-y3,N(x,y)=3x2y-3xy2+y2,由于 aM =6y-3y 所以这是一个恰当方程.取x0=0,y=0,可计算出 U(x0=/(+3n2-)+/vht 故该方程的通解为x5+x2y2-xy2+y=C,其中C为任意常数 (5)将原方程改写为 (6x+y+2)dax+(x+8y-3)dy=0 这里M(x,y)=6x+y+2,N(x,y)=x+8y-3,由于 aM aN =1 所以这是一个恰当方程.取x0=0,3o=0,可计算出 U(r, y) (6x+y+2)dx+ 3x-+xy+2x+4y2-3 该方程的通解为3x2+xy+2x+4y2-3y=C,其中C为任意常数
1 习 题 2.2 1. 验证下列方程是恰当方程, 并求出方程的解: (2) (cos x + 1 y )dx + ( 1 y − x y2 )dy = 0. (3) (5x 4 + 3xy2 − y 3 )dx + (3x 2 y − 3xy2 + y 2 )dy = 0. (5) dy dx = − 6x+y+2 x+8y−3 . (9) 3y + e x + (3x + cos y) dy dx = 0. 解: (2) 这里 M(x, y) = cos x + 1 y , N(x, y) = 1 y − x y2 , 由于 ∂M ∂y = − 1 y 2 = ∂N ∂x , 所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 (cos x + 1 y )dx + Z y 1 1 y dy = sin x + x y + ln |y|. 故该方程的通解为 sin x + x y + ln |y| = C, 其中 C 为任意常数. (3) 这里 M(x, y) = 5x 4 + 3xy2 − y 3 , N(x, y) = 3x 2 y − 3xy2 + y 2 , 由于 ∂M ∂y = 6xy − 3y 2 = ∂N ∂x , 所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 (5x 4 + 3xy 2 − y 3 )dx + Z y 0 y 2 dy = x 5 + 3 2 x 2 y 2 − xy 3 + y 3 3 . 故该方程的通解为 x 5 + 3 2 x 2 y 2 − xy3 + y 3 3 = C, 其中 C 为任意常数. (5) 将原方程改写为 (6x + y + 2)dx + (x + 8y − 3)dy = 0, 这里 M(x, y) = 6x + y + 2, N(x, y) = x + 8y − 3, 由于 ∂M ∂y = 1 = ∂N ∂x , 所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 (6x + y + 2)dx + Z y 0 (8y − 3)dy = 3x 2 + xy + 2x + 4y 2 − 3y. 故该方程的通解为 3x 2 + xy + 2x + 4y 2 − 3y = C, 其中 C 为任意常数
(9)将原方程改写为 (3y +e )dx+(3 cos y)dy=0 这里M(x,y)=3y+e,N(x,y)=3x+cosy,由于 所以这是一个恰当方程.取x0=0,y=0,可计算出 U(a, y)= (3y+e )dx+/cos ydy e +3 ry+sin y. 故该方程的通解为ex+3xy+siny=C,其中C为任意常数 试用积分因子法解下列方程 (1)ydr +(y-r)dy=0 (3)(x2+y2+y)dx-xdy=0 (5)2ry In ydx+(x2+y2v1+y2)dy=0 (1)这里M(x,y)=y,N(x,y)=y-x,由于 E、OMON 所以它不是恰当方程由于一是=—影与x无关,因此该方程有只依赖于y的积分因子 (x)=e 因此方程 为恰当方程,取x0=0,3=1,可计算出 UG=边+山=如例+ 故该方程的通解为lmly+=C,其中C为任意常数.此外,显然y=0也是方程的解 (3)这里M(x,y)=x2+y2+y,N(x,y)=-x,由于 c- 所以它不是恰当方程.通过观察易知 ar+y+ydr-ady =(x2+g2)(d+如-xd) (x2+y)(dr+d(arctan())) 因此该方程有积分因子x+,且其通解为 其中C为任意常数
2 (9) 将原方程改写为 (3y + e x )dx + (3x + cos y)dy = 0, 这里 M(x, y) = 3y + e x , N(x, y) = 3x + cos y, 由于 ∂M ∂y = 3 = ∂N ∂x , 所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 (3y + e x )dx + Z y 0 cos ydy = e x + 3xy + sin y. 故该方程的通解为 e x + 3xy + sin y = C, 其中 C 为任意常数. 3. 试用积分因子法解下列方程: (1) ydx + (y − x)dy = 0. (3) (x 2 + y 2 + y)dx − xdy = 0. (5) 2xy ln ydx + (x 2 + y 2p 1 + y 2)dy = 0. 解: (1) 这里 M(x, y) = y, N(x, y) = y − x, 由于 E = ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2, 所以它不是恰当方程. 由于 − E M = − 2 y 与 x 无关, 因此该方程有只依赖于 y 的积分因子 µ(x) = e − R 2 y dy = − 1 y2 . 因此方程 1 y dx + y − x y 2 dy = 0 为恰当方程, 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 1 y dx + Z y 1 1 y dy = ln |y| + x y . 故该方程的通解为 ln |y| + x y = C, 其中 C 为任意常数. 此外, 显然 y = 0 也是方程的解. (3) 这里 M(x, y) = x 2 + y 2 + y, N(x, y) = −x, 由于 E = ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2(y + 1), 所以它不是恰当方程. 通过观察易知 (x 2 + y 2 + y)dx − xdy = (x 2 + y 2 )(dx + ydx − xdy x2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )(dx + d(arctan(x y ))) = (x 2 + y 2 )d(x + arctan(x y )) 因此该方程有积分因子 1 x2+y2 , 且其通解为 x + arctan(x y ) = C, 其中 C 为任意常数
5)这里M(x,y)=2 ryIn y,N(x,y)=x2+y21+y2,由于 OM ON 所以它不是恰当方程由于一是=-1与x无关,因此该方程有只依赖于v的积分因子 (y)=3.因此方程 2rIn ydr+(+yV1+y?)dy=0 为恰当方程,取r0=0,9o=1,可计算出 U(r, y)= 2my+/ 1+y2d 2my+3(1+y2) 故该方程的通解为x2lmy+3(1+y2)=C,其中C为任意常数 5.试求 bernoulli方程的积分因子 解:把 bernoulli方程写成对称形式 (a(ar)y+f(r)y )dr-dy=0, 引入新的未知函数z=y2-a,得 (1-a)a(x)z+(1-a)f(x)d 这是一个关于z的一阶线性方程,由例1.2知它有积分因子 ()=e-(1-a)a()dr 即方程 o(x)[(1-a)a(x)z+(1-a)f(x)dx-po(x)dz=0 为恰当方程,由于dz=(1-a)y-°dy,这等价于方程 o(x)y°a(x)y+f(x)y"]dr-po(x)y-°dy=0 为恰当方程,这样我们求出了 bernoulli方程的一个积分因子 8.已知微分方程 (ar+y) r f(r)dy=0 有积分因子=x,试求所有可能的函数f(x) 解:令M(x,y)=x2+y,N(x,y)=f(x),由所给方程有积分因子p=x知 a(arM) a(aN) 即x=xf'(x)+∫(x),因此函数∫(x)满足一阶线性方程 r(G)=-fa)+1 求出其通解即得使所给方程有积分因子p=x的函数f(x)为 C 其中C为任意常数
3 (5) 这里 M(x, y) = 2xy ln y, N(x, y) = x 2 + y 2p 1 + y 2, 由于 E = ∂M ∂y − ∂N ∂x = 2x ln y, 所以它不是恰当方程. 由于 − E M = − 1 y 与 x 无关, 因此该方程有只依赖于 y 的积分因子 µ(y) = 1 y . 因此方程 2x ln ydx + (x 2 y + y p 1 + y 2)dy = 0 为恰当方程, 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出 U(x, y) = Z x 0 2x ln ydx + Z y 1 y p 1 + y 2dy = x 2 ln y + 1 3 (1 + y 2 ) 3 2 − 2 3 √ 2. 故该方程的通解为 x 2 ln y + 1 3 (1 + y 2 ) 3 2 = C, 其中 C 为任意常数. 5. 试求 Bernoulli 方程的积分因子. 解: 把 Bernoulli 方程写成对称形式 (a(x)y + f(x)y α )dx − dy = 0, 引入新的未知函数 z = y 1−α , 得 [(1 − α)a(x)z + (1 − α)f(x)]dx − dz = 0. 这是一个关于 z 的一阶线性方程, 由例 1.2 知它有积分因子 µ0(x) = e −(1−α) R a(x) dx . 即方程 µ0(x)[(1 − α)a(x)z + (1 − α)f(x)]dx − µ0(x)dz = 0 为恰当方程, 由于 dz = (1 − α)y −α dy, 这等价于方程 µ0(x)y −α [a(x)y + f(x)y α ]dx − µ0(x)y −α dy = 0 为恰当方程, 这样我们求出了 Bernoulli 方程的一个积分因子 µ = y −α e (1−α) R P (x)dx . 8. 已知微分方程 (x 2 + y)dx + f(x)dy = 0 有积分因子 µ = x, 试求所有可能的函数 f(x). 解: 令 M(x, y) = x 2 + y, N(x, y) = f(x), 由所给方程有积分因子 µ = x 知 ∂(xM) ∂y = ∂(xN) ∂x , 即 x = xf0 (x) + f(x), 因此函数 f(x) 满足一阶线性方程 f 0 (x) = − f(x) x + 1, 求出其通解即得使所给方程有积分因子 µ = x 的函数 f(x) 为 f(x) = C x + x 2 , 其中 C 为任意常数