第十九章含参量积分 ★1含参量正常积分 ★§2含参量反常积分 ★3欧拉积分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
第十九章含参量积分 §1含参量正常积分
§1 含参量正常积分
含参量正常积分 1、含参量正常积分的定义 设f(xy是定义在矩形域R(a≤x≤b,c≤y≤d)上的二元 函数,当x取{ab上某定值时,函数f(xy)则是定义在c,d 上以y为自变量的一元函数若此时(xy在(上可积, 则其积分值是x在ab上取值的函数,表为 (x)=f(x,y)dy x∈[a2b] 称为含参量x的正常积分,或简称含参量积分
一、含参量正常积分 1、 含参量正常积分的定义 设 是定义在矩形域 上的二元 函数, 当 取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为 f (x, y) R(a x b,c y d) x [a,b] f (x, y) [c,d] y f (x, y) [c,d] x [a,b] I(x) f (x, y)dy, x [a,b] d c = 称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分
2含参量正常积分的性质 ()连续性 若二元函数(xy)在矩形域axsb,C≤y≤a)上连续, 则函数1(x)=f(xy)b在a上连续 证:设x∈[anb对充分小的Ax,有x+Ax∈[a,b于是 I(x+△x)-1(x)=[f(x+△x,y)-f(x,y)hy 由于f(x,y)在R上连续从而一致连续知 vE>0δ>0,Y(x2y1)(x2,y2)∈R2当x1-x2<6,y-y21<, 有f(x,y1)-f(x2,y2)<6
2、 含参量正常积分的性质: (i)、 连续性: 若二元函数 ) 在矩形域 上连续, f ( x , y R ( a x b,c y d ) 则函数 = dc I(x) f ( x , y )dy 在 [ a , b ] 上连续 证 : 设x [a,b],对充分小的 x,有x + x [a,b],于是 I(x x) -I(x) [ f (x x, y) f (x, y)]dy. d c + = + − 由于f (x, y)在R上连续从而一致连续知 0, 0,(x1, y1 ), ( x2, y 2 ) R,当 , , x1 − x2 y1 − y2 ( , ) ( , ) . 1 1 2 2 有 f x y − f x y
故当A<c时有 Ix+△x(x)≤(x+△Axy)=f(xy)b <L Edx=E(d-c) 从而(x)在a,b]上连续 同理可证:若f(x,y)在矩形域R上连续,则含参量y积分 b y)=f(x,y)在c;上连续 注:由连续性,若/(xy)在矩形域R上连续,则x∈[ab都有 limI f(x, y)dy= lim f(x, y)dy x→)xsC Cx→)x 即定义在矩形域上连续,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的
故当x 时有 I(x x) -I(x) f (x x, y) f (x, y)dy. d c + + − dx (d c). d c = − 从而I(x)在[a,b]上连续. 同理可证:若f (x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分 = b a J(y) f (x, y)dx在[c,d]上连续. 注: 由连续性， 若f (x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a,b],都有 → → = d c x x d x x c lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy 0 0 即定义在矩形域上连续， 其极限运算与积分运算的顺序是可交换的
()、可微性 若函数f(x1y与其偏导数f(xy)都在矩形域 R( assh,csy≤d上连续,则 X)=f(x,y)b在上可微,且 f(x, y)dy=f(x, y)dy 证设x∈[ab对充分小的Ax,有x+Aw∈,b1则 I(x+△x)-1(x)_rf(x+△x,y)-f(x,y)dy △ⅹ 由 lagrange中值定理及f(x,y)在有界闭域R上连续知
(ii)、 可微性: 若函数 f (x, y) 与其偏导数 f (x, y) 都在矩形域 x R (a x b,c y d) 上连续,则 = d c I(x) f (x, y)dy 在 [a,b] 上可微, 且 = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 证: 设x[a,b],对充分小的x,有x +x[a,b],则 . ( , ) ( , ) x I(x x) -I(x) dy x d f x x y f x y c + − = + 由Lagrange中值定理及f x (x, y)在有界闭域R上连续知
VE>036>0,只要不Ax<6,就有 f(x+△x2y)-f(x,y) f(x,y =f(x+0xy)-f(xy)<E,其中∈(01)因此 f(x, y)dy df(x+△x,y)-f(x,y) f(r, y)dy <a(d-c) △ 即Yx∈b为am f(, y)dy f(x, y)dy dx c dx 注:由可微性,若(xy)与f(x,y)在矩形域R上连续,则导数 x 运算与积分运算可交换顺序
0, 0,只要不x ,就有( , ) ( , ) ( , ) f x y x f x x y f x y − x + − f (x x, y)-f (x, y) , x x = + 其中 (0,1).因此 ( , ) ( ). ( , ) ( , ) ( , ) f x y dy d c x f x x y f x y f x y dy x I d c x d c x − − + − − 即x[a,b],有 = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 注: 由可微性 若 与 f x y 在矩形域R上连续， 则导数 x ， f (x, y) ( , ) 运算与积分运算可交换顺序
(i)可积性 若二元函数(xy)在矩形域(asx≤bc≤y≤d)上连续, 则(x)和(y)在ab和cd可微,且 raxl f(x, y)dy=l dy/(x,y)dx 退记(0(x)、()=(y 其中∈[ab]则1(a) /(x)dx=( 令H(uny)=f(x,y)x,则2()=H(u2y)dy 因为H(l,y)与H(l,y)=f(l,y)都在R上连续,由可微性
(iii )、 可积性 : 若二元函数 在矩形域 上连续, f ( x , y ) R ( a x b,c y d ) 则 I( x ) 和 J ( y ) 在 [ a , b ] 和 [ c , d ] 可微, 且 = dc ba dc ba dx f ( x, y )dy dy f ( x, y )dx 证 : I (u) ( , ) , 1 = dc ua 记 dx f x y dy = dc ua I(u ) dy f ( x, y )dx 2 其中 u [ a , b], 则 = = ua I x dx I u dxd I ( u ) ( ) ( ). '1 令 ( , ) = ( , ) , 则 ua H u y f x y dx = dc I (u) H(u, y)dy. 2 因为H(u, y)与 Hu (u, y) = f (u, y)都在R上连续， 由可微性
l(u)=dH(u, dy= H(u, y)dy=f(u, y)dy=1(u) d d 从而1(n)=12(m)因此v∈[a,b1,有1(u)=l2(a)+k,(k为常数) 当=a时,l1(a)=l2(a)=0,于是k=O时,即得 1()=l2(un),u∈[a,b] 取u=b即得所证结论 注:可积性说明在f(x,y)连续的假设下,累次积分 af(xy)与[的f(x,y C 与求积顺序无关
= = = = d c d c u d c H u y dy H u y dy f u y dy I u du d I (u) ( , ) ( , ) ( , ) ( ). ' 2 ( ) ( ), [ , ]. I 1 u = I 2 u u a b 从而I 1 ' (u) = I 2 ' (u),因此u[a,b],有 ( ) ( ) , ( ). I1 u = I2 u + k k为常数 当u = a时，I 1 (a) = I 2 (a) = 0,于是k = 0时， 即得 取u = b,即得所证结论. 注: 可积性说明在f (x, y)连续的假设下， 累次积分 d c b a d c b a dx f (x, y)dy 与 dy f (x, y)dx 与求积顺序无关
含参量正常积分的一般形式 3 定义 设(x是定义在区域G=(x,y(x)sy≤x)a≤x≤b上的 的二元函数,其中cx),(x)为定义在ab上的连续函数,若 对于[ab每一固定的x值,(xy)作为y的函数在(x)(x) 上可积,则其积分值是x在ab上取值的函数,表为 d(x) f(, y)ay x∈a b c(x) 称为含参量x的正常积分,或简称含参量积分
3、 含参量正常积分的一般形式: • 定义: 设 f (x, y) 是定义在区域 G = (x, y) c(x) y d(x),a x b 上的 f (x, y) 的二元 函数,其中 , 为定义在 上的连续函数, 若 对于 每一固定的 值, 作为 的函数在 上可积,则其积分值是 在 上取值的函数,表为 x c(x) d(x) [a,b] [a,b] [c(x), d(x)] x y [a,b] F(x) ( , ) , [ , ]. ( ) ( ) f x y dy x a b d x c x = 称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分