第二十章曲线积分 食§1第一型曲线积分 食§2第二型曲线积分
第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分
第二十章曲线积分 §1第一型曲线积分
第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分
、问题的提出 B L 实例:曲线形构件的质量 (5,n)/M1 匀质之质量M=p·s i-1 分割M1,M2, M,→△s n-1 取(5,m)∈△s;,△M1≈p(51,m)△s 求和M≈∑p(5,m)·△s 近似值 i=1 精确值 取极限M=lim∑(5,n),△
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为又(2:,n)为第 i个小段上任意取定的一点,y B 作乘积(;,n)·As, (5,m)/M 并作和∑∫(,n),△s
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[,∫(x,y)ds,即 L 被积函数 (xy)=mim∑,n)△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=p(x,y)d
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分f(x,)存在 3推广 函数f(x,y,z在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 f(x,)d=im∑/(5,m,)△
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2) f(x, y)ds= f(x, y)ds+l. f(x, y)a L+L 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)d
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
4性质 1),If(x,y)±g(x,y)ds=,f(x,y)ds±g(x,y)d (2)6(x,y)d=k[f(x,y)ds(k为常数) (3).f(x, y)ds= f(x, y)ds+ f(x,y)ds
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
三,对弧长曲线积分的计算 定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的 参数方程为 x=() (a≤t≤B) y=y(t), 其中g(),y()在a,月上有一阶连续导数,且 f(x,)=1g(,y(O)k(O)+y2)d 证略。 (a<B) 这里L =q(t), y=y(t). c≤t≤ ds=p(t)+y(
三、对弧长曲线积分的计算 定理 其中 在 上有一阶连续导数 且 参数方程为 设 在曲线弧 上有定义且连续 的 ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , t t t y t x t f x y L L = = f x y d s f t t t t dt L = + ( , ) [( ),( )] ( ) ( ) 2 2 ( ) 证略。 = = ( ). ( ), : y t x t L 这里， t . ( ) ( ) . 2 2 ds = t + t dt
计算: 曲线积分 定积分 D)L: yyx), asxsb 假设y(x)∈C"(a,b]).有 ds=v1+y(x)dx I/(x, yds=[f(x,y(x)v1+y2(x)dx (a<b)
曲线积分 定积分 (1) L：y=y(x), a≤x≤b 假设 y(x)C1 ([a, b]). 有 f x y s f x y x y x x b L a ( , )d ( , ( )) 1 ' ( )d 2 = + ( a < b ) ds 1 y' (x)dx 2 = + 计算：