第十四章幂级数 幂级数 函数的幂级数展开
第十四章幂级数 函数的幂级数展开 幂级数
第十四章幂级数 §1幂级数
第十四章幂级数 §1 幂级数
函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在IcR上的 函数则∑u1(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+ n=1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+
一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n
2.收敛点与收敛域 如果x∈I数项级数∑un(x)收敛 】 1E 则称x为级数∑un(x)的收敛点,否则称为发散点 = 函数项级数∑u1(x)的所有收敛点的全体称为收鲛域 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数(x), 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x), lims t(x)=(x) n→0 余项rn(x)=(x)-Sn(x) imrn(x)=0(在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
例1求级数∑(1 mn+,)的收敛域 解由达朗贝尔判别法 n+1 n n(x)n+11+x1+x (n→>∞) (1)当1 1, 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1
(2)当 >1,→1+x<1 1+x 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=0时,级数∑(收敛; 当x=-2时,级数∑发散; n 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+0)
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
二、幂级数及其收敛性 1定义:形如∑an、(x-x0)”的级数称为幂级数 n=0 当xn=0时,∑anx,其中an为幂级数系数 H-=0 2.收敛性 例如级数∑x"=1+x+x2+…, H=0 当x<时,收敛;当x≥时,发散; 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1J[1,+∞);
二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);
定理1(Abe|定理) 如果级数∑anx"在x=x0(x0≠0)处收敛则 n=0 它在满足不等式xx0的一切处发散 o 证明(1):∑anx收敛,: lima x0”=0, n-=0
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
彐M,使得l,x≤M(m=0,2,) n n M n 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛, 0 n=0 0 ao ao ∑ax"收敛,即级数∑ax"收敛; 0 H=0
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x