习题3.3 2.考虑方程组 dt 其中 f(e) 2t +1 sin2 (t) 是对应的齐次方程组 dx A(t) 的基解矩阵 (2)试求(1)的满足初值条 (1)易 = A()(t) e(sint +cos t) 重(t)是对应的齐次方程组的解矩阵.又由dt(t)=e2≠0知更(t)是对应的齐次方程组的 基解矩阵. (2)容易求出 e cost -sint eT cost esinT cos t 重(t)重()f(r)= et cos t-sint1「10 -e cost-2 sin t Φ(t)-(0)x(0) e' sint costo1」2 ef sint+2 cost 由常数变易公式得原非齐次方程组的解为 x(1)=()中-1(0)x(0)+/()中-(r)f(T)dr Ce-1)sint+2 cost 3.设nxn矩阵函数A()在@,月上连续,n维向量函数f(t,x)在区域a≤t≤B,‖x‖<∞上连续 证明初值问题 A(tx+f(t, x), x(to) 等价于求解积分方程 ()=x(1)x-(toxo+/x()x-(r)f(r,x()
1 习 题 3.3 2. 考虑方程组 dx dt = A(t)x + f(t), (1) 其中 A(t) = cos2 t 1 2 sin 2t − 1 1 2 sin 2t + 1 sin2 t , f(t) = cos t sin t . (1) 试验证 Φ(t) = e t cos t − sin t e t sin t cos t 是对应的齐次方程组 dx dt = A(t)x 的基解矩阵. (2) 试求 (1) 的满足初值条件 x(0) = −1 2 的解. 解: (1) 易见 dΦ(t) dt = e t (cos t − sin t) − cos t e t (sin t + cos t) − sin t = A(t)Φ(t). 故 Φ(t) 是对应的齐次方程组的解矩阵. 又由 det Φ(t) = e t 6= 0 知 Φ(t) 是对应的齐次方程组的 基解矩阵. (2) 容易求出 Φ(t)Φ−1 (τ )f(τ ) = e t cos t − sin t e t sin t cos t e −τ cos τ e−τ sin τ − sin τ cos τ cos τ sin τ = e t−τ cos t sin t , Φ(t)Φ−1 (0)x(0) = e t cos t − sin t e t sin t cos t 1 0 0 1 −1 2 = −e t cos t − 2 sin t −e t sin t + 2 cos t , 由常数变易公式得原非齐次方程组的解为 x(t) = Φ(t)Φ−1 (0)x(0) + Z t 0 Φ(t)Φ−1 (τ )f(τ ) dτ = (−e t − 1) cos t − 2 sin t (−e t − 1) sin t + 2 cos t . 3. 设 n × n 矩阵函数 A(t) 在 [α, β] 上连续, n 维向量函数 f(t, x) 在区域 α ≤ t ≤ β, kxk < ∞ 上连续. 证明初值问题 dx dt = A(t)x + f(t, x), x(t0) = x0 等价于求解积分方程 x(t) = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ
其中t,to∈a,,X(t)是相应齐次线性方程组的基解矩阵 证明:设x(t)为所给积分方程的解, dX(t X (to)xo+x(t)x(t)f(t, x(t))+ dX(t x()f(T, x(r) A(x()x-1(to)xo+f(,x(1)+A()/x()x-(r)f(r,x(r)dr A(tx(t)+f(t, x(t)) 故x(t)也为所给微分方程的解.同时易见x(to)=x0,故x(t)为所给初值问题的解 反之,设x(t)为所给初值问题的解,则有 de= A(tx+g(t), x(to)=xo, 其中g(t)=f(t,x(t))为已知函数.由常数变易公式得 x(t)=X(t)X(to)xo+/X(t)x()g(r)di =X(1)x-(o)xo+/x()x-(f(r,x)dr, 故x(t)也为所给积分方程的解 习题3.4 2.设x(t)是线性微分方程 d- (t)x+a2(1)x=0 的非零解,试证当x(to)=0时,x'(to)≠0. 证明:用反证法.若x(to)=0.,则x(t)是初值问题 d+a1(at+a2(r=0,x(o)=0,x()=0 显然这个初值问题有零解()≡0,因此由解的存在惟一性定理知必有x(t)≡0,这与x(t)是 解矛盾.故当x(to)=0时,x(to)≠0 3.验证x=!是方程 的解,并求该方程的通解 解:由x=sint知 d-r 2 dr 1 t+= t)+
2 其中 t, t0 ∈ [α, β], X(t) 是相应齐次线性方程组的基解矩阵. 证明: 设 x(t) 为所给积分方程的解, 则 dx dt = dX(t) dt X −1 (t0)x0 + X(t)X −1 (t)f(t, x(t)) + Z t t0 dX(t) dt X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ = A(t)X(t)X −1 (t0)x0 + f(t, x(t)) + A(t) Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ = A(t)x(t) + f(t, x(t)), 故 x(t) 也为所给微分方程的解. 同时易见 x(t0) = x0, 故 x(t) 为所给初值问题的解. 反之, 设 x(t) 为所给初值问题的解, 则有 dx dt = A(t)x + g(t), x(t0) = x0, 其中 g(t) = f(t, x(t)) 为已知函数. 由常数变易公式得 x(t) = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )g(τ ) dτ = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ, 故 x(t) 也为所给积分方程的解. 习 题 3.4 2. 设 x(t) 是线性微分方程 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = 0 的非零解, 试证当 x(t0) = 0 时, x 0 (t0) 6= 0. 证明: 用反证法. 若 x 0 (t0) = 0, 则 x(t) 是初值问题 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = 0, x(t0) = 0, x 0 (t0) = 0 的解. 显然这个初值问题有零解 x¯(t) ≡ 0, 因此由解的存在惟一性定理知必有 x(t) ≡ 0, 这与 x(t) 是 非零解矛盾. 故当 x(t0) = 0 时, x 0 (t0) 6= 0. 3. 验证 x = sin t t 是方程 d 2x dt2 + 2 t dx dt + x = 0 的解, 并求该方程的通解. 解: 由 x = 1 t sin t 知 d 2x dt2 + 2 t dx dt + x = 2 t 3 sin t − 2 t 2 cos t − 1 t sin t + 2 t (− 1 t 2 sin t + 1 t cos t) + 1 t sin t = 0
因此x="是原方程的解.由例42的结果知其通解为 (t) C1-C2 =-(C1 sint+C2 cos t 其中C1,C2为任意常数 5.设x1(t),x2(t)是二阶线性微分方程 d2+a1()a+a2()x=f( 对应的齐次方程的两个线性无关的特解,其中a1(t)和a2(t)是区间a≤t≤B上的连续函数,则方程 (2)在区间a≤t≤B上的通解为 r(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+ x1(7)x2(7)-r1(7)x2(7) ∫(r)dr, 其中c1,c为任意常数 证明:解组{x1(t),x2(t)}是对应的齐次方程的基本解组,其 Wronsky行列式为 W(=et/=()r2(0 =r1(t)x2(t)-x1(t)x2(t) r1(t)x2(t) 又W(t)中第2行第1列和第2列元素的代数余子式W1(t),W2()分别为W1(t)=-x2(1),W2(t)= (t).故由常数变易公式知所给二阶线性微分方程有特解 1(7)x27)-z(m)x2()/(rht 因此所给通解公式成立 6.求方程 +4r= tsin 2t 的通解.已知其对应的齐次线性方程有基本解组cos2t,sin2t 解:容易求出其对应的齐次线性方程的基本解组cos2t,sin2t的 ky行列式W(t)=2,W(1)中 第2行第1列及第2列元素的代数余子式W1(t),W2(t)分别为W1(t)=-sin2,W2(t)=cos2t.因 此由常数变易公式知原方程有特解 Tp(0)=2/(sin 2t cos 2T--cos 2t sin 2T)r sin 2Tdr 故原方程的通解为 其中C1,C2为任意常数
3 因此 x = sin t t 是原方程的解. 由例 4.2 的结果知其通解为 x(t) = sin t t C1 − C2 Z t 2 sin2 t e −2 R t−1dtdt = 1 t (C1 sin t + C2 cos t), 其中 C1, C2 为任意常数. 5. 设 x1(t), x2(t) 是二阶线性微分方程 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = f(t), (2) 对应的齐次方程的两个线性无关的特解, 其中 a1(t) 和 a2(t) 是区间 α ≤ t ≤ β 上的连续函数, 则方程 (2) 在区间 α ≤ t ≤ β 上的通解为 x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + Z t t0 x1(τ )x2(t) − x1(t)x2(τ ) x1(τ )x 0 2 (τ ) − x 0 1 (τ )x2(τ ) f(τ )dτ, 其中 c1, c2 为任意常数. 证明: 解组 {x1(t), x2(t)} 是对应的齐次方程的基本解组, 其 Wronsky 行列式为 W(t) = det x1(t) x2(t) x 0 1(t) x 0 2(t) = x1(t)x 0 2(t) − x 0 1(t)x2(t). 又 W(t) 中第 2 行第 1 列和第 2 列元素的代数余子式 W1(t), W2(t) 分别为 W1(t) = −x2(t), W2(t) = x1(t). 故由常数变易公式知所给二阶线性微分方程有特解 xp(t) = Z t t0 x1(τ )x2(t) − x1(t)x2(τ ) x1(τ )x 0 2 (τ ) − x 0 1 (τ )x2(τ ) f(τ )dτ, 因此所给通解公式成立. 6. 求方程 d 2x dt2 + 4x = t sin 2t 的通解. 已知其对应的齐次线性方程有基本解组 cos 2t, sin 2t. 解: 容易求出其对应的齐次线性方程的基本解组 cos 2t, sin 2t 的 Wronsky 行列式 W(t) = 2, W(t) 中 第 2 行第 1 列及第 2 列元素的代数余子式 W1(t), W2(t) 分别为 W1(t) = − sin 2t, W2(t) = cos 2t. 因 此由常数变易公式知原方程有特解 xp(t) = 1 2 Z t 0 (sin 2t cos 2τ − cos 2t sin 2τ )τ sin 2τ dτ = − t 2 8 cos 2t + t 16 sin 2t. 故原方程的通解为 x = C1 cos 2t + C2 sin 2t − t 2 8 cos 2t + t 16 sin 2t, 其中 C1, C2 为任意常数
