第5章线性方程组的迭代解法 、考核知识点: 向量范数与矩阵范数及其性质,谱半径,严格对角占优矩阵,迭代法的收敛 性,雅可比迭代法与髙斯-塞德尔迭代法及其收敛性。 、考核要求: 1.了解向量范数的定义、性质;了解矩阵范数的定义、性质,知道谱半径的 定义。 2.了解严格对角占优矩阵;了解迭代法的收敛性 3.熟练掌握雅可比迭代法,了解其收敛性。 4.熟练掌握高斯-塞德尔迭代法,了解其收敛性 重、难点分析 例1已知向量X=(1,-2,3),求向量X的三种常用范数。 =3,x-=6,-1=项 例2证明‖x1sxl1≤m4Xl 证明因为|xl=mxx-=xlk∑x=|xlh ∑||≤n|=nmx|≤川lx 所以sx1≤X, 例3已知矩阵A-2- ,求矩阵A的三种常用范数 22 解p4=mx∑=4,4,=max∑a|=4
1 第 5 章 线性方程组的迭代解法 一、考核知识点： 向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛 性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。 二、考核要求： 1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的 定义。 2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。 3．熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。 4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。 三、重、难点分析 例 1 已知向量 X=（1，-2，3）,求向量 X 的三种常用范数。 解 = max = 3 i i X x ， 6 , 14 1 2 2 1 1 = = = = = = n i i n i X xi X x 例2 证明 , 1 X X n X 证明 因为 1 1 X max x x x X n i i p i i = = = = = x n x = n xi n X i p n i i max 1 所以 , 1 X X n X 例 3 已知矩阵 − = 2 2 2 1 A ，求矩阵 A 的三种常用范数。 解 max 4 3 1 = = = j ij i A a ， = = = n i ij j A a 1 1 max 4
A'A 122225 AA-元 -A2 =22-13A+36=(2-4)-9) 例4已知方程组 2a2 (1)写出解此方程组的雅可比法迭代公式 (2)证明当l>4时,雅可比迭代法收敛 (3)取a=5,X0)= )2,求出X(2 10510 解(1)对i=1,2,3,从第i个方程解出x,得雅可比法迭代公式为: (1-2x2 (2-2x (2)当l>4时,A为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法收敛 (3)取a=5,X 由迭代公式计算得 20 则X 25025250
2 9 3 13 36 ( 4)( 9) 2 5 8 2 2 5 8 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 = = = = − + = − − − − − = = − − = A A A I A A T T 例 4 已知方程组 = 1 2 1 1 2 2 2 2 1 3 2 1 x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当 a 4 时，雅可比迭代法收敛 （3）取 a = 5, T X ) 10 1 , 5 1 , 10 1 ( (0) = ，求出 (2) X 。 解 （1）对 i =1,2,3 ，从第 i 个方程解出 i x ，得雅可比法迭代公式为： = = − − = − − = − − + + + , 0,1, (1 2 ) 1 (2 2 2 ) 1 (1 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 1) 1 m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当 a 4 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。 （3）取 a = 5， T X ) 10 1 , 5 1 , 10 1 ( (0) = 由迭代公式计算得 10 (1) 1 x1 = ， 25 (1) 8 x2 = ， 10 (1) 1 x3 = 250 (2) 13 x1 = ， 25 (2) 8 x2 = ， 250 (2) 13 x3 = 则 （2） X =（ 250 13 ， 25 8 ， 250 13 ） T
例5用高斯一一塞德尔迭代法解方程组 015 (1)证明高斯—一塞德尔迭代法收敛 (2)写出高斯一一塞德尔法迭代公式 (3)取X=(000)y,求出X(2) 解(1)因为A为严格对角占优矩阵,故高斯一一塞德尔迭代收敛。 (2)对i=1,2,3,从第i个方程解出x,,得高斯—一塞德尔法迭代公式为 =2(-3-x1m1-x3m),m=0.1 :(4 (3)x 119 119 613 1887 3125 则x()=(119 6131887 125 6253125
3 例 5 用高斯——塞德尔迭代法解方程组 = − 4 3 4 0 1 5 1 5 1 5 1 0 3 2 1 x x x （1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛 （2）写出高斯——塞德尔法迭代公式 （3）取 T X （0） =（0 0 0） ，求出 （2） X 解 （1）因为 A 为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛。 （2）对 i =1,2,3 ，从第 i 个方程解出 i x ，得高斯——塞德尔法迭代公式为 = = − = − − − = − + + + + + , 0,1, (4 ) 5 1 ( 3 ) 5 1 (4 ) 5 1 ( 1) 2 1) 3 ( ) 3 ( 1) 1 ( 1) 2 ( ) 2 ( 1) 1 m x x x x x x x m m m m m m m （ （3） 5 (1) 4 x1 = ， 25 (1) 19 x2 = − ， 125 (1) 119 x3 = 125 (2) 119 x1 = ， 625 (2) 613 x2 = − ， 3125 (2) 1887 x3 = 则 （2） X =（ 125 119 ， 625 613 − ， 3125 1887 ） T
